Encontre um vetor que seja ortogonal tanto a \underset{\sim}{a}=(2,0,-1) quanto a \underset{\sim}{b}=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede um vetor em \mathbb{R}^3 que seja ortogonal simultaneamente a \underset{\sim}{a}=(2,0,-1) e \underset{\sim}{b}=(1,1,1).
O conteúdo-chave é produto vetorial, pois em \mathbb{R}^3 o vetor \underset{\sim}{a}\times\underset{\sim}{b} é ortogonal a ambos.

Passo 2

Recordando a definição de produto vetorial: para \underset{\sim}{a}=(a_1,a_2,a_3) e \underset{\sim}{b}=(b_1,b_2,b_3),
\underset{\sim}{a}\times\underset{\sim}{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Esse vetor é garantidamente ortogonal a \underset{\sim}{a} e a \underset{\sim}{b}.

Passo 3

Aplicando aos nossos vetores:
\underset{\sim}{a}\times\underset{\sim}{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\,(0\cdot1-(-1)\cdot1) - \mathbf{j}\,(2\cdot1-(-1)\cdot1) + \mathbf{k}\,(2\cdot1-0\cdot1).
Calculando cada componente:
- componente \mathbf{i}: 0+1=1
- componente \mathbf{j}: 2+1=3, com sinal “–” vira -3
- componente \mathbf{k}: 2-0=2
Logo
\underset{\sim}{a}\times\underset{\sim}{b}=(1,\,-3,\,2).

Passo 4

Para conferir, basta checar os produtos escalares:
(1,-3,2)\cdot(2,0,-1)=1\cdot2+(-3)\cdot0+2\cdot(-1)=2-2=0,
(1,-3,2)\cdot(1,1,1)=1-3+2=0.
Ambos são zero, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

Uma escolha simples é (1,-3,2), pois satisfaz
\,(1,-3,2)\cdot(2,0,-1)=0 \quad\text{e}\quad (1,-3,2)\cdot(1,1,1)=0.

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