Encontre um vetor que seja ortogonal aos vetores p=(1,-2,3) e q=(4,0,-8).

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar um vetor que seja ortogonal aos vetores p = (1, -2, 3) e q = (4, 0, -8). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente o produto vetorial. Vamos precisar usar a regra do produto vetorial para achar esse vetor perpendicular aos dois dados.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o produto vetorial entre dois vetores p e q resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
p times q = i & j & k p1 & p2 & p3 q1 & q2 & q3
Onde i, j, e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula usando os componentes dos vetores p e q:
p times q = i & j & k 1 & -2 & 3 4 & 0 & -8

Passo 4

Agora, calculamos o determinante:
p times q = i cdot -2 & 3 0 & -8 - j cdot 1 & 3 4 & -8 + k cdot 1 & -2 4 & 0
Calculando cada parte:
i: (-2)(-8) - (3)(0) = 16
j: (1)(-8) - (3)(4) = -8 -12 = -20
k: (1)(0) - (-2)(4) = 0 +8 = 8

Passo 5

Substituindo de volta:
p times q = 16i - (-20)j + 8k = 16i + 20j + 8k
Ou, em forma de coordenadas:
p times q = (16, 20, 8)

Resposta

Um vetor ortogonal aos vetores p e q é v = (16,, 20,, 8).

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