Com base na comprovação 2-(e), para a função exponencial em torno de
, utilize-a para provar:
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos provar que as funções hiperbólicas seno e cosseno (sinh x e cosh x) podem ser escritas como séries infinitas usando a expansão da função exponencial em torno de
. Para isso, vamos precisar conhecer a série da função exponencial e entender como as funções hiperbólicas se relacionam com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série da função exponencial. A função
pode ser escrita como uma soma infinita de termos da seguinte forma:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as funções hiperbólicas
e
em termos da função exponencial. Sabemos que:
Essas expressões mostram como as funções hiperbólicas são combinações das exponenciais
e
.
Passo 4
Vamos substituir a expansão da função exponencial nas expressões de
e
.
Primeiro, para
:
E para
:
Passo 5
Substituindo essas expansões nas expressões de
e
:
Para
:
Ao simplificar, percebemos que os termos com potências pares de
se cancelam, e os termos ímpares são dobrados. Assim, a série resultante fica:
Para
:
Aqui, os termos com potências ímpares de
se cancelam, e os termos pares são dobrados. Assim, obtemos:
Resposta
Portanto, provamos que: