Expanda a expressão da energia relativística com base no teorema binomial:
.
Função de Dirac
1
Seja a sequência
. Mostre que
.
Seja a sequência
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma sequência de funções chamada
, definida por:
Nosso objetivo é mostrar que, quando
se aproxima de zero, a integral dessa função em todo o eixo real é igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como essas funções se comportam quando
varia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da função
. Ela é definida como:
Aqui,
é um parâmetro que vai se aproximando de zero. A função tem a forma de uma espécie de “pico” centralizado em
, e à medida que
muda, a largura e a altura desse pico também mudam.
Passo 3
Agora, queremos calcular a integral dessa função de
a
:
Vamos simplificar a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Perceba que o
se cancela, o que simplifica bastante a nossa vida!
Passo 5
Agora, a integral que restou é uma integral conhecida:
Esse resultado vem da fórmula da integral da função de Cauchy, que é uma resultado clássico no cálculo.
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Ou seja,
E isso vale para qualquer valor de
, inclusive quando
se aproxima de zero.
Resposta
Portanto, mostramos que: