Expanda a expressão da energia relativística com base no teorema binomial: E=m c^2 cdot(1-v^2c^2)^-12.

Função de Dirac

1
Seja a sequência de. Mostre que lim n 0 integral-infty^infty de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma sequência de funções chamada de, definida por:
de
Nosso objetivo é mostrar que, quando n se aproxima de zero, a integral dessa função em todo o eixo real é igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e entender como essas funções se comportam quando n varia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da função de. Ela é definida como:
de
Aqui, n é um parâmetro que vai se aproximando de zero. A função tem a forma de uma espécie de “pico” centralizado em x = 0, e à medida que n muda, a largura e a altura desse pico também mudam.

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral dessa função de -infty a +infty:
integral-infty^infty de
Vamos simplificar a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = n x, então du = n dx, ou seja, dx = dun.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral-infty^infty npi cdot 11 + n^2x^2 , dx = npi integral-infty^infty 11 + u^2 cdot dun = 1pi integral-infty^infty 11 + u^2 , du
Perceba que o n se cancela, o que simplifica bastante a nossa vida!

Passo 5

Agora, a integral que restou é uma integral conhecida:
integral-infty^infty 11 + u^2 , du = pi
Esse resultado vem da fórmula da integral da função de Cauchy, que é uma resultado clássico no cálculo.

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
1pi cdot pi = 1
Ou seja,
integral-infty^infty de
E isso vale para qualquer valor de n, inclusive quando n se aproxima de zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
limn 0 integral-infty^infty de

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