Dado os sistemas abaixo, determine a solução dos sistemas utilizando o método de Gauss.
\begin{aligned} & 3 x+y-z=2 \\\ & 2 x-2 y+z=-1 \\\ & x+y+2 z=9 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a solução usando o método de Gauss:
\begin{aligned} & 3x + y - z = 2 \\\ & 2x - 2y + z = -1 \\\ & x + y + 2z = 9 \end{aligned}
Informações relevantes fornecidas:
\;3 equações, \;3 incógnitas \;x,y,z.
A tarefa é encontrar os valores de \;x,y,z que satisfazem as três equações simultaneamente, aplicando eliminação por linhas (operações elementares em linhas da matriz aumentada).

Passo 2

Vamos representar o sistema pela matriz aumentada. A matriz aumentada é construída colocando os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 9 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo à direita do sinal de igual.]

Passo 3

No método de Gauss preferimos um pivô simples (idealmente 1). Aqui a terceira linha já tem 1 na primeira coluna, então trocamos a linha 1 com a linha 3 para facilitar os cálculos. Essa operação é R_1 \leftrightarrow R_3. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 2 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]
Comentário: trocar linhas é uma operação elementar que preserva o conjunto de soluções.]

Passo 4

Agora eliminamos os elementos abaixo do pivô [1) na coluna 1. Usamos operações do tipo R_j \leftarrow R_j - k\cdot R_1.
Calcule R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \quad \begin{cases} 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] -2 - 2\cdot 1 = -4,\\[4pt] 1 - 2\cdot 2 = -3,\\[4pt] -1 - 2\cdot 9 = -19. \end{cases}
Calcule (R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1]:
R_3: \quad \begin{cases} 3 - 3\cdot 1 = 0,\\[4pt] 1 - 3\cdot 1 = -2,\\[4pt] -1 - 3\cdot 2 = -7,\\[4pt] 2 - 3\cdot 9 = -25. \end{cases}
Substituindo, a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & -4 & -3 & -19\\[4pt] 0 & -2 & -7 & -25 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora queremos zerar o elemento na posição (3,2) (segunda coluna, terceira linha). Usamos R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_2 porque \tfrac{-2}{-4}=\tfrac{1}{2}.
Calcule cada entrada de R_3 - \tfrac{1}{2}R_2:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }& 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0,\\[4pt] \text{coluna 2: }& -2 - \tfrac{1}{2}\cdot(-4) = -2 + 2 = 0,\\[4pt] \text{coluna 3: }& -7 - \tfrac{1}{2}\cdot(-3) = -7 + \tfrac{3}{2} = -\tfrac{11}{2},\\[4pt] \text{lado direito: }& -25 - \tfrac{1}{2}\cdot(-19) = -25 + \tfrac{19}{2} = -\tfrac{31}{2}. \end{aligned}
A matriz triangular superior resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9\\[4pt] 0 & -4 & -3 & -19\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{11}{2} & -\tfrac{31}{2} \end{array}\right]
Breve explicação didática: agora temos um sistema equivalente em forma triangular superior, adequado para fazer substituição regressiva (back-substitution).]

Passo 6

A terceira linha corresponde à equação (escrita em forma algébrica):
-\tfrac{11}{2}\,z = -\tfrac{31}{2}.
Para isolar z, dividimos ambos os lados por -\tfrac{11}{2}. Fazer divisão por fração é multiplicar pelo inverso:
z = \frac{-\tfrac{31}{2}}{-\tfrac{11}{2}} = \frac{-31}{2}\cdot\frac{-2}{11} = \frac{31}{11}.
Portanto \;z = \tfrac{31}{11}.

Passo 7

Agora usamos a segunda linha para encontrar y. A segunda linha dá:
-4y -3z = -19.
Substituímos \;z = \tfrac{31}{11}:
-4y -3\cdot\frac{31}{11} = -19.
Calcule -3\cdot\tfrac{31}{11} = -\tfrac{93}{11}. Passo seguinte: isolar -4y:
-4y = -19 + \tfrac{93}{11}.
Para somar os termos do lado direito, escrevemos -19 com denominador 11: -19 = -\tfrac{209}{11}. Então
-4y = -\tfrac{209}{11} + \tfrac{93}{11} = -\tfrac{116}{11}.
Logo
y = \frac{-\tfrac{116}{11}}{-4} = \frac{116}{11}\cdot\frac{1}{4} = \frac{116}{44} = \frac{29}{11}.
Portanto \;y = \tfrac{29}{11}.

Passo 8

Finalmente encontramos x usando a primeira equação:
x + y + 2z = 9.
Substituímos \;y=\tfrac{29}{11} e \;z=\tfrac{31}{11}:
x = 9 - y - 2z = 9 - \frac{29}{11} - 2\cdot\frac{31}{11}.
Calcule 2\cdot\tfrac{31}{11}=\tfrac{62}{11}. Escrevendo 9=\tfrac{99}{11}, temos
x = \frac{99}{11} - \frac{29}{11} - \frac{62}{11} = \frac{99-29-62}{11} = \frac{8}{11}.
Portanto \;x = \tfrac{8}{11}.

Passo 9

Resumo dos valores encontrados:
x = \frac{8}{11},\qquad y = \frac{29}{11},\qquad z = \frac{31}{11}.
Se quiser, uma verificação rápida: substituir esses valores em qualquer equação original dá igualdade (confere-se fazendo as somas com denominador 11), confirmando a solução.

Resposta

x=\dfrac{8}{11}
y=\dfrac{29}{11}
z=\dfrac{31}{11}

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