O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede a solução usando o método de Gauss:
\begin{aligned} & 3x + y - z = 2 \\\ & 2x - 2y + z = -1 \\\ & x + y + 2z = 9 \end{aligned}
Informações relevantes fornecidas: \;3 equações, \;3 incógnitas \;x,y,z.
A tarefa é encontrar os valores de \;x,y,z que satisfazem as três equações simultaneamente, aplicando eliminação por linhas (operações elementares em linhas da matriz aumentada).
Passo 2
Vamos representar o sistema pela matriz aumentada. A matriz aumentada é construída colocando os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo à direita do sinal de igual.]
Passo 3
No método de Gauss preferimos um pivô simples (idealmente 1). Aqui a terceira linha já tem 1 na primeira coluna, então trocamos a linha 1 com a linha 3 para facilitar os cálculos. Essa operação é R_1 \leftrightarrow R_3. A matriz fica:
Agora queremos zerar o elemento na posição (3,2) (segunda coluna, terceira linha). Usamos R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_2 porque \tfrac{-2}{-4}=\tfrac{1}{2}.
Breve explicação didática: agora temos um sistema equivalente em forma triangular superior, adequado para fazer substituição regressiva (back-substitution).]
Passo 6
A terceira linha corresponde à equação (escrita em forma algébrica):
-\tfrac{11}{2}\,z = -\tfrac{31}{2}.
Para isolar z, dividimos ambos os lados por -\tfrac{11}{2}. Fazer divisão por fração é multiplicar pelo inverso:
z = \frac{-\tfrac{31}{2}}{-\tfrac{11}{2}} = \frac{-31}{2}\cdot\frac{-2}{11} = \frac{31}{11}.
Portanto \;z = \tfrac{31}{11}.
Passo 7
Agora usamos a segunda linha para encontrar y. A segunda linha dá:
x = \frac{8}{11},\qquad y = \frac{29}{11},\qquad z = \frac{31}{11}.
Se quiser, uma verificação rápida: substituir esses valores em qualquer equação original dá igualdade (confere-se fazendo as somas com denominador 11), confirmando a solução.