Encontre o vetor, sem usar determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial.
(i \times j) \times k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor (i \times j) \times k. As informações que temos (implícitas pelo enunciado) são:
  • i, j e k são os vetores unitários do sistema cartesiano padrão (vetores ortonormais): i aponta em x, j em y e k em z.
  • Devemos usar propriedades do produto vetorial (sem determinantes) para encontrar o resultado.

Passo 2

Vamos recordar as propriedades do produto vetorial que serão úteis (uma mini-aula rápida, passo a passo):
  • Direção: a\times b é um vetor perpendicular a a e a b, com orientação dada pela regra da mão direita.
  • Módulo: \lVert a\times b\rVert = \lVert a\rVert\lVert b\rVert\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre a e b.
  • Anti‑comutatividade: a\times b = -\,b\times a.
  • Produto de vetor por ele mesmo: a\times a = \mathbf{0}, porque \sin 0 = 0 (ângulo entre a e a é zero).
  • Para a base ortonormal padrão (sistema direito) valem as relações cíclicas: i\times j = k,\qquad j\times k = i,\qquad k\times i = j,e trocando a ordem muda o sinal (por exemplo j\times i = -k).

Passo 3

Usando a relação cíclica da base ortonormal, calculamos primeiro o produto i\times j. Pela regra da mão direita e pela convenção do sistema coordenado direita:
i\times j = k.
Explicação curta: i\times j é perpendicular a i e j e aponta na direção positiva do eixo z, que é exatamente k.

Passo 4

Substituímos esse resultado no produto pedido:
(i\times j)\times k = k\times k.

Passo 5

Aplicamos a propriedade a\times a=\mathbf{0}. Aqui a=k, logo
k\times k=\mathbf{0}.
Justificativa geométrica: o ângulo entre k e k é zero, então o módulo \lVert k\times k\rVert=\lVert k\rVert\lVert k\rVert\sin 0=0, e portanto o vetor é o vetor nulo.

Passo 6

(Método alternativo, reforçando a ideia, sem determinantes) Usando a identidade do produto vetorial em tripla (fórmula de Lagrange),
(a\times b)\times c = b\,(a\cdot c) - a\,(b\cdot c),
tomando a=i, b=j, c=k. Como i, j, k são ortogonais, temos i\cdot k=0 e j\cdot k=0. Portanto
(i\times j)\times k = j\,(i\cdot k) - i\,(j\cdot k) = j\cdot 0 - i\cdot 0 = \mathbf{0},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\mathbf{0}

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