Encontre o vetor, sem usar determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o vetor
. As informações que temos (implícitas pelo enunciado) são:
-
, e são os vetores unitários do sistema cartesiano padrão (vetores ortonormais): aponta em , em e em . - Devemos usar propriedades do produto vetorial (sem determinantes) para encontrar o resultado.
Passo 2
Vamos recordar as propriedades do produto vetorial que serão úteis (uma mini-aula rápida, passo a passo):
- Direção:
é um vetor perpendicular a e a , com orientação dada pela regra da mão direita. - Módulo:
, onde é o ângulo entre e . - Anti‑comutatividade:
. - Produto de vetor por ele mesmo:
, porque (ângulo entre e é zero). - Para a base ortonormal padrão (sistema direito) valem as relações cíclicas:
e trocando a ordem muda o sinal (por exemplo ).
Passo 3
Usando a relação cíclica da base ortonormal, calculamos primeiro o produto
. Pela regra da mão direita e pela convenção do sistema coordenado direita:
Explicação curta:
é perpendicular a
e
e aponta na direção positiva do eixo
, que é exatamente
.
Passo 4
Substituímos esse resultado no produto pedido:
Passo 5
Aplicamos a propriedade
. Aqui
, logo
Justificativa geométrica: o ângulo entre
e
é zero, então o módulo
, e portanto o vetor é o vetor nulo.
Passo 6
(Método alternativo, reforçando a ideia, sem determinantes) Usando a identidade do produto vetorial em tripla (fórmula de Lagrange),
tomando
,
,
. Como
,
,
são ortogonais, temos
e
. Portanto
confirmando o resultado anterior.