Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois:
\mathbf{a}=\langle 4,6\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-3,2\rangle

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede para decidir se eles são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. Os dados são:
  • \mathbf{a}=\langle 4,6\rangle
  • \mathbf{b}=\langle -3,2\rangle
A pergunta é única: classificar a relação entre \mathbf{a} e \mathbf{b} (ortogonais, paralelos ou nenhum).

Passo 2

Definição e ferramenta principal para testar ortogonalidade: o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores em \mathbb{R}^2. Para \mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2\rangle temos a fórmula
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Importante interpretação geométrica: se \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\;|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde |\mathbf{u}| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}. Daqui segue que \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 se, e somente se, \cos\theta=0, isto é, \theta=90^\circ. Logo, produto escalar zero ⇄ vetores ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Calcular o produto escalar de \mathbf{a} e \mathbf{b} com a fórmula:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4\cdot(-3)+6\cdot2.
Fazendo as contas passo a passo:
4\cdot(-3)=-12, \qquad 6\cdot2=12,
portanto
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-12+12=0.
Como o produto escalar é 0, concluímos que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é 90^\circ e, portanto, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Verificação de paralelismo (para ficar completo): dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe k\in\mathbb{R} tal que \mathbf{a}=k\mathbf{b}. Em componentes isso exige
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=k
(quando nenhum denominador é zero). Aqui:
\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}, \qquad \frac{6}{2}=3.
Como -\tfrac{4}{3}\neq 3, não existe um único k que satisfaça \mathbf{a}=k\mathbf{b}. Logo, os vetores não são paralelos.

Passo 5

Conclusão combinada: o produto escalar é zero, o que garante ortogonalidade, e as razões das componentes não coincidem, então não são paralelos. Portanto a relação correta é que os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Resposta

Ortogonais

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