Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano e pede para decidir se eles são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. Os dados são:
A pergunta é única: classificar a relação entre
e
(ortogonais, paralelos ou nenhum).
Passo 2
Definição e ferramenta principal para testar ortogonalidade: o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores em
. Para
e
temos a fórmula
Importante interpretação geométrica: se
é o ângulo entre
e
, então
onde
é o comprimento (norma) de
. Daqui segue que
se, e somente se,
, isto é,
. Logo, produto escalar zero ⇄ vetores ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Calcular o produto escalar de
e
com a fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Como o produto escalar é
, concluímos que o ângulo entre
e
é
e, portanto, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Verificação de paralelismo (para ficar completo): dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe
tal que
. Em componentes isso exige
(quando nenhum denominador é zero). Aqui:
Como
, não existe um único
que satisfaça
. Logo, os vetores não são paralelos.
Passo 5
Conclusão combinada: o produto escalar é zero, o que garante ortogonalidade, e as razões das componentes não coincidem, então não são paralelos. Portanto a relação correta é que os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Resposta
Ortogonais