Determine o ângulo agudo \theta entre as retas:
r: 2 x-y=3 \quad \text { e } \quad s: 3 x+y=7

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede o ângulo agudo entre elas. Informações fornecidas:
  • Reta r: 2x-y=3.
  • Reta s: 3x+y=7.
O que é pedido:
  • Determinar o ângulo agudo \theta entre as retas r e s.

Passo 2

Primeiro passo prático na resolução: achar as declividades (inclinações, “coeficientes angulares”) de cada reta. Para isso escrevemos cada equação na forma y=mx+b e identificamos m (a inclinação).
Reescrevendo r: 2x-y=3:
-y=3-2x \quad\Rightarrow\quad y=2x-3.
Logo a inclinação da reta r é m_r=2.
Reescrevendo s: 3x+y=7:
y=7-3x.
Logo a inclinação da reta s é m_s=-3.

Passo 3

Explicando o que é inclinação de forma didática: a inclinação m de uma reta é a taxa de variação de y em relação a x; geometricamente, m=\tan(\alpha) onde \alpha é o ângulo que a reta faz com o eixo x (medido a partir do eixo positivo no sentido anti-horário). Assim podemos associar ângulos \alpha_r e \alpha_s tais que
m_r=\tan(\alpha_r),\qquad m_s=\tan(\alpha_s).

Passo 4

Agora a ideia para achar o ângulo entre as retas: o ângulo entre elas é o valor absoluto da diferença entre as inclinações angulares, \theta=|\alpha_r-\alpha_s|. Usando a fórmula da tangente da diferença de ângulos, obtemos a relação prática entre as declividades:
\tan(\alpha_r-\alpha_s)=\frac{\tan(\alpha_r)-\tan(\alpha_s)}{1+\tan(\alpha_r)\tan(\alpha_s)}=\frac{m_r-m_s}{1+m_r m_s}.
Como queremos o ângulo agudo \theta\ge 0, usamos o valor absoluto na tangente:
\tan\theta=\left|\frac{m_s-m_r}{1+m_r m_s}\right|.
Obs.: troquei a ordem m_s-m_r por simetria; o valor absoluto garante resultado positivo.

Passo 5

Aplicando a fórmula com m_r=2 e m_s=-3:
\tan\theta=\left|\frac{-3-2}{1+2\cdot(-3)}\right| =\left|\frac{-5}{1-6}\right| =\left|\frac{-5}{-5}\right| =\left|1\right|=1.

Passo 6

Agora obtemos \theta a partir de \tan\theta=1. O valor principal da função arco-tangente que dá um ângulo agudo é
\theta=\arctan(1)=45^\circ.
Em radianos isso é
\theta=\frac{\pi}{4}.

Passo 7

Verificação alternativa (útil para prova): usar vetores diretores. Para uma reta com inclinação m um vetor diretor é (1,m). Então:
  • vetor diretor de r: v=(1,2);
  • vetor diretor de s: w=(1,-3).
O cosseno do ângulo entre v e w é
\cos\theta=\frac{|v\cdot w|}{\|v\|\|w\|}=\frac{|1\cdot1+2\cdot(-3)|}{\sqrt{1^2+2^2}\,\sqrt{1^2+(-3)^2}} =\frac{|-5|}{\sqrt{5}\,\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^\circ, confirmando o resultado.

Resposta

\theta=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}

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