Em cada caso, verifique se o conjunto W \subset V é um subespaço vetorial de V.
Lembre que F[x] é o espaço dos polinômios em F e C^{1}(\mathbb{R}) é o espaço das funções deriváveis com derivada contínua.
W=\left\{f \in C^{1}(\mathbb{R}) \mid f(t)+f^{\prime}(t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\right\}, \quad V=C^{1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W é um subespaço vetorial do espaço V. As informações dadas são:
  • V = C^{1}(\mathbb{R}), o espaço de todas as funções reais que são diferenciáveis em \mathbb{R} e cuja derivada é contínua.
  • W = \left\{f \in C^{1}(\mathbb{R}) \mid f(t)+f^{\prime}(t)=0,\\ \forall t \in \mathbb{R}\right\}.
O que se deve responder: decidir se W é subespaço de V e justificar (i.e., provar ou refutar).

Passo 2

Lembrete do critério para subespaço (a versão prática que vamos usar):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se e somente se:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero),
  2. W é fechado sob soma: se f,g \in W então f+g \in W,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se f\in W e \alpha é escalar então \alpha f \in W.
Vou verificar cada uma dessas três propriedades. Antes, um comentário sobre operações: aqui a soma e a multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto, ou seja, (f+g)(t)=f(t)+g(t) e (\alpha f)(t)=\alpha f(t).

Passo 3

Verificar que W contém o zero (não é vazio).
Defina a função zero por 0(t)=0 para todo t\in\mathbb{R}. Essa função pertence a C^{1}(\mathbb{R}) e sua derivada é 0. Então, para todo t,
0(t)+0'(t)=0+0=0.
Portanto 0\in W. Concluímos que W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento por soma.
Sejam f,g \in W. Isso significa, por hipótese, que para todo t
f'(t) = -f(t)\quad\text{e}\quad g'(t) = -g(t).
Usamos a linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas): para todo t,
(f+g)'(t) = f'(t)+g'(t).
Agora calculamos
(f+g)'(t) + (f+g)(t) = \big(f'(t)+g'(t)\big) + \big(f(t)+g(t)\big).
Agrupando termos:
(f+g)'(t) + (f+g)(t) = \big(f'(t)+f(t)\big) + \big(g'(t)+g(t)\big).
Como f e g satisfazem a condição de W, temos f'(t)+f(t)=0 e g'(t)+g(t)=0. Assim
(f+g)'(t) + (f+g)(t)=0+0=0.
Isso vale para todo t, logo f+g\in W. Portanto W é fechado por soma.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja \alpha um escalar (por exemplo em \mathbb{R}) e seja f\in W. Então para todo t tem-se f'(t) = -f(t). A derivada satisfaz (\alpha f)'(t) = \alpha f'(t). Então
(\alpha f)'(t) + (\alpha f)(t) = \alpha f'(t) + \alpha f(t) = \alpha\big(f'(t)+f(t)\big).
Como f'(t)+f(t)=0, resulta que
(\alpha f)'(t) + (\alpha f)(t) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha f\in W. Assim W é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão a partir dos passos anteriores: W contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Pelo critério de subespaço, W é um subespaço vetorial de V.
Além da verificação formal, vale entender concretamente que tipo de funções estão em W. A condição diferencial é
f'(t) = -f(t).
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com solução geral obtida por separação de variáveis ou por método padrão:
\frac{f'(t)}{f(t)} = -1 \quad\Rightarrow\quad \ln|f(t)| = -t + C \quad\Rightarrow\quad f(t) = Ce^{-t},
onde C é constante real (inclui C=0 que dá a função zero). Verificação rápida: (Ce^{-t})' = -Ce^{-t}, logo (Ce^{-t})' + Ce^{-t}=0. Assim
W = \{\, C e^{-t} \mid C\in\mathbb{R}\,\} = \operatorname{span}\{e^{-t}\}.
Isso mostra também que W é um subespaço unidimensional gerado por e^{-t}.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de V=C^{1}(\mathbb{R}); além disso W=\{C e^{-t}\mid C\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{e^{-t}\}.

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