Em cada caso, verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Lembre que
é o espaço dos polinômios em
e
é o espaço das funções deriváveis com derivada contínua.
.
Lembre que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. As informações dadas são:
-
, o espaço de todas as funções reais que são diferenciáveis em e cuja derivada é contínua. -
O que se deve responder: decidir se
é subespaço de
e justificar (i.e., provar ou refutar).
Passo 2
Lembrete do critério para subespaço (a versão prática que vamos usar):
Um subconjunto de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se e somente se:
Um subconjunto
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor zero), -
é fechado sob soma: se então , -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar então .
Vou verificar cada uma dessas três propriedades. Antes, um comentário sobre operações: aqui a soma e a multiplicação por escalar são feitas ponto a ponto, ou seja,
e
.
Passo 3
Verificar que
contém o zero (não é vazio).
Defina a função zero por
para todo
. Essa função pertence a
e sua derivada é
. Então, para todo
,
Portanto
. Concluímos que
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento por soma.
Sejam
. Isso significa, por hipótese, que para todo
Usamos a linearidade da derivada (a derivada da soma é a soma das derivadas): para todo
,
Agora calculamos
Agrupando termos:
Como
e
satisfazem a condição de
, temos
e
. Assim
Isso vale para todo
, logo
. Portanto
é fechado por soma.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar.
Seja
um escalar (por exemplo em
) e seja
. Então para todo
tem-se
. A derivada satisfaz
. Então
Como
, resulta que
Portanto
. Assim
é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão a partir dos passos anteriores:
contém o zero, é fechado por soma e por multiplicação escalar. Pelo critério de subespaço,
é um subespaço vetorial de
.
Além da verificação formal, vale entender concretamente que tipo de funções estão em
. A condição diferencial é
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com solução geral obtida por separação de variáveis ou por método padrão:
onde
é constante real (inclui
que dá a função zero). Verificação rápida:
, logo
. Assim
Isso mostra também que
é um subespaço unidimensional gerado por
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
; além disso
.