Encontre os vetores unitários \vec{T} e \vec{N} para as curvas abaixo em t=t_{0}
\vec{r}(t)=5 \cos (t) \vec{i}+5 \operatorname{sen}(t) \vec{j}, t_{0}=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\vec{r}(t)=5\cos(t)\,\vec{i}+5\sin(t)\,\vec{j}
e pede os vetores unitários tangente \vec{T} e normal \vec{N} em t_{0}=\pi/3. Para isso vamos usar as definições \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|}
e \displaystyle \vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|}.

Passo 2

Derivando cada componente de \vec{r}(t) obtemos
\vec{r}'(t)=-5\sin(t)\,\vec{i}+5\cos(t)\,\vec{j}.
O módulo disso é
\|\vec{r}'(t)\| =\sqrt{(-5\sin(t))^2+(5\cos(t))^2} =\sqrt{25\sin^2(t)+25\cos^2(t)} =5.
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\vec{T}(t) =\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|} =-\sin(t)\,\vec{i}+\cos(t)\,\vec{j}.
Substituindo t=\pi/3, com \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt3}{2} e \cos(\pi/3)=\tfrac12,
\vec{T}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac{\sqrt3}{2}\,\vec{i}+\frac12\,\vec{j}.

Passo 3

Agora derivamos \vec{T}(t):
\vec{T}'(t)=-\cos(t)\,\vec{i}-\sin(t)\,\vec{j}.
O módulo de \vec{T}'(t) é
\|\vec{T}'(t)\| =\sqrt{(-\cos(t))^2+(-\sin(t))^2} =\sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)} =1.
Então
\vec{N}(t) =\frac{\vec{T}'(t)}{\|\vec{T}'(t)\|} =-\cos(t)\,\vec{i}-\sin(t)\,\vec{j}.
Em t=\pi/3 isso vira
\vec{N}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac12\,\vec{i}-\frac{\sqrt3}{2}\,\vec{j}.

Resposta

\displaystyle \vec{T}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac{\sqrt3}{2}\,\vec{i}+\frac12\,\vec{j}, \displaystyle \vec{N}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\frac12\,\vec{i}-\frac{\sqrt3}{2}\,\vec{j}.

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