Encontre os vetores unitários \vec{T} e \vec{N} para as curvas abaixo em t=t_{0}
\vec{r}(t)=\left(t^{2}-1\right) \vec{i}+t \vec{j}, t_{0}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t) = \bigl(t^2 - 1\bigr)\,\vec{i} + t\,\vec{j}
e pede os vetores unitários tangente \vec{T} e normal \vec{N} em t_0=1.
Para isso, vamos usar:
  1. \displaystyle \vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\bigl\lVert \vec{r}'(t)\bigr\rVert}.
  2. \displaystyle \vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{\bigl\lVert \vec{T}'(t)\bigr\rVert}.

Passo 2

Calculamos \vec{r}'(t) e seu módulo:
\vec{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((t^2-1)\,\vec{i}+t\,\vec{j}\bigr) = 2t\,\vec{i} + 1\,\vec{j},
\bigl\lVert \vec{r}'(t)\bigr\rVert = \sqrt{(2t)^2 + 1^2} = \sqrt{4t^2 + 1}.
Em t=1 isso fica \vec{r}'(1)=2\,\vec{i}+\vec{j} e \bigl\lVert \vec{r}'(1)\bigr\rVert=\sqrt{5}.

Passo 3

Obtemos então o vetor tangente unitário em t=1:
\vec{T}(1) = \frac{\vec{r}'(1)}{\lVert \vec{r}'(1)\rVert} = \frac{2\,\vec{i}+\vec{j}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{j}.

Passo 4

Agora precisamos de \vec{T}'(t). Escrevendo
\vec{T}(t) = \frac{2t}{\sqrt{4t^2+1}}\,\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{4t^2+1}}\,\vec{j},
e derivando componente a componente, em t=1 achamos
\vec{T}'(1) = \frac{2}{5\sqrt{5}}\,\vec{i} - \frac{4}{5\sqrt{5}}\,\vec{j}.
O módulo é
\bigl\lVert \vec{T}'(1)\bigr\rVert = \sqrt{\Bigl(\tfrac{2}{5\sqrt{5}}\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac{4}{5\sqrt{5}}\Bigr)^2} = \frac{2}{5}.

Passo 5

Finalmente, o vetor normal unitário em t=1 é
\vec{N}(1) = \frac{\vec{T}'(1)}{\lVert \vec{T}'(1)\rVert} = \frac{\tfrac{2}{5\sqrt{5}}\,\vec{i} - \tfrac{4}{5\sqrt{5}}\,\vec{j}}{\tfrac{2}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{i} - \frac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{j}.

Resposta

\displaystyle \vec{T}(1)=\frac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{j} \displaystyle \vec{N}(1)=\frac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{i}-\frac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{j}

Exercícios relacionados