Exercício 10. Calcule a curvatura, o raio de curvatura e o módulo da torção das curvas abaixo:
\vec{r}(t)=a \operatorname{cosh} (t) \vec{i}+b \operatorname{sinh} (t) \vec{j},-\infty \leq t \leq \infty, a>0, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura, o raio de curvatura e o módulo da torção da curva
\vec{r}(t)=a\operatorname{cosh}(t)\,\vec{i}+b\operatorname{sinh}(t)\,\vec{j},\quad t\in(-\infty,\infty),\;a>0,\;b>0.
O conteúdo aplicado será a geometria de curvas no espaço: usaremos as fórmulas
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec r'(t)\bigr\|^3},\quad \rho(t)=\frac1{\kappa(t)},\quad \tau(t)=\frac{(\vec r'(t)\times \vec r''(t))\cdot \vec r'''(t)}{\bigl\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\|^2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras e segundas:
\vec r'(t)=a\operatorname{sinh}(t)\,\vec{i}+b\operatorname{cosh}(t)\,\vec{j},
\vec r''(t)=a\operatorname{cosh}(t)\,\vec{i}+b\operatorname{sinh}(t)\,\vec{j}.

Passo 3

Formemos o produto vetorial em \mathbb{R}^3 (tomando componente k não nula):
\vec r'(t)\times \vec r''(t) =\bigl(a\operatorname{sinh}(t)\,b\operatorname{sinh}(t)-b\operatorname{cosh}(t)\,a\operatorname{cosh}(t)\bigr)\,\vec{k} =-ab\,\vec{k}.
Logo
\bigl\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\bigr\|=ab.

Passo 4

O módulo de \vec r'(t) é
\|\vec r'(t)\| =\sqrt{a^2\operatorname{sinh}^2(t)+b^2\operatorname{cosh}^2(t)}.

Passo 5

Substituindo em \kappa(t)=\dfrac{\|\vec r'\times \vec r''\|}{\|\vec r'\|^3}, vem
\kappa(t) =\frac{ab}{\bigl(a^2\operatorname{sinh}^2(t)+b^2\operatorname{cosh}^2(t)\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

O raio de curvatura é \rho(t)=1/\kappa(t), e como a curva é planar, a torção se anula:
\rho(t) =\frac{\bigl(a^2\operatorname{sinh}^2(t)+b^2\operatorname{cosh}^2(t)\bigr)^{3/2}}{ab}, \qquad |\tau(t)|=0.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{ab}{\bigl(a^2\operatorname{sinh}^2(t)+b^2\operatorname{cosh}^2(t)\bigr)^{3/2}}, \quad \displaystyle \rho(t)=\frac{\bigl(a^2\operatorname{sinh}^2(t)+b^2\operatorname{cosh}^2(t)\bigr)^{3/2}}{ab}, \quad \displaystyle |\tau(t)|=0.

Exercícios relacionados