Encontre o volume aproximado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos y=x, z=0 e z=x e pelo cilindro

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos y=x, z=0 e z=x e pelo cilindro (o enunciado foi cortado: a equação do cilindro não foi fornecida). Ou seja:
  • O que está dado explicitamente: o sólido está no primeiro octante (portanto x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), é limitado pelas superfícies y=x, z=0 e z=x.
  • O que falta: a equação do cilindro que fecha lateralmente a região no sentido radial (por exemplo, algo como x^2+y^2=a^2 ou outra forma). Sem a equação do cilindro não é possível obter um valor numérico ou uma expressão correta do volume.
Para não deixar você sem resolução — e porque problemas desse tipo costumam usar o cilindro circular \;x^{2}+y^{2}=a^{2}\; — vou resolver o problema assumindo explicitamente que o cilindro é
x^{2}+y^{2}=a^{2},
onde a>0 é um parâmetro (se o cilindro for outro, a técnica é a mesma, mas o resultado muda). O objetivo então será encontrar o volume em função de a.

Passo 2

Ideia geral e escolha de coordenadas. Como o limite lateral é um cilindro circular em torno do eixo z, a maneira mais simples é usar coordenadas cilíndricas (polares no plano xy). Em coordenadas cilíndricas (plano xy):
  • x = r\cos\theta,
  • y = r\sin\theta,
  • a diferencial de área no plano xy é dA = r\,dr\,d\theta.
Descrição da região projetada no plano xy. O sólido está no primeiro octante, então \theta varia entre 0 e \tfrac{\pi}{2}. A superfície vertical y=x corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{4}. Assim, a parte do primeiro quadrante limitada pela reta y=x e pelo eixo x corresponde ao setor angular \theta\in[0,\tfrac{\pi}{4}]. O cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} corresponde a r=a. Portanto, a projeção D no plano xy é o setor
0\le r\le a,\qquad 0\le\theta\le \tfrac{\pi}{4}.
Altitude do sólido (limites em z). O sólido é limitado inferiormente por z=0 e superiormente por z=x. Em coordenadas cilíndricas z vai de 0 até x=r\cos\theta. Portanto, para cada ponto (r,\theta)\in D, o segmento vertical é 0\le z\le r\cos\theta.

Passo 3

Montagem da integral do volume. O volume é a integral tripla do elemento de volume dV. Fazendo a integração em z primeiro, para cada (x,y) o comprimento vertical é x. Assim em termos do projeto no plano xy:
V=\iint_{D} \bigl(\text{altura} \bigr)\,dA = \iint_{D} x\,dA.
Em coordenadas polares (cilíndricas no plano xy) substituímos x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Logo o integrando se torna x\,dA = (r\cos\theta)(r\,dr\,d\theta)=r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta. E os limites são r\in[0,a], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{4}]. Assim
V = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{a} r^{2}\cos\theta \,dr\,d\theta.

Passo 4

Cálculo da integral em r. A integral é separável porque o integrando é produto de função de r por função de \theta. Primeiro integramos em r:
\int_{r=0}^{a} r^{2}\cos\theta\,dr = \cos\theta \int_{0}^{a} r^{2}\,dr = \cos\theta \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a} = \cos\theta\cdot \frac{a^{3}}{3}.

Passo 5

Cálculo da integral em \theta e simplificação final. Agora integramos em \theta:
V = \int_{0}^{\pi/4} \frac{a^{3}}{3}\cos\theta\,d\theta = \frac{a^{3}}{3}\left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/4} = \frac{a^{3}}{3}\cdot \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).
Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
V = \frac{a^{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}.
Como aproximação numérica, \sqrt{2}\approx 1{,}4142, então
V \approx 0{,}2357\,a^{3}.
Observação final: se o cilindro do enunciado não for x^{2}+y^{2}=a^{2} ou se houver um valor numérico dado para a, o resultado numérico muda. Como o enunciado original não forneceu a equação do cilindro nem um valor para a, apresentei a solução para o caso mais comum x^{2}+y^{2}=a^{2}.

Resposta

\displaystyle V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}
\displaystyle V\approx 0{,}2357\,a^{3}

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