Encontre o volume aproximado do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
e
e pelo cilindro
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
,
e
e pelo cilindro (o enunciado foi cortado: a equação do cilindro não foi fornecida). Ou seja:
- O que está dado explicitamente: o sólido está no primeiro octante (portanto
), é limitado pelas superfícies , e . - O que falta: a equação do cilindro que fecha lateralmente a região no sentido radial (por exemplo, algo como
ou outra forma). Sem a equação do cilindro não é possível obter um valor numérico ou uma expressão correta do volume.
Para não deixar você sem resolução — e porque problemas desse tipo costumam usar o cilindro circular
— vou resolver o problema assumindo explicitamente que o cilindro é
onde
é um parâmetro (se o cilindro for outro, a técnica é a mesma, mas o resultado muda). O objetivo então será encontrar o volume em função de
.
Passo 2
Ideia geral e escolha de coordenadas. Como o limite lateral é um cilindro circular em torno do eixo
, a maneira mais simples é usar coordenadas cilíndricas (polares no plano
). Em coordenadas cilíndricas (plano
):
-
, -
, - a diferencial de área no plano
é .
Descrição da região projetada no plano
. O sólido está no primeiro octante, então
varia entre
e
. A superfície vertical
corresponde a
. Assim, a parte do primeiro quadrante limitada pela reta
e pelo eixo
corresponde ao setor angular
. O cilindro
corresponde a
. Portanto, a projeção
no plano
é o setor
Altitude do sólido (limites em
). O sólido é limitado inferiormente por
e superiormente por
. Em coordenadas cilíndricas
vai de
até
. Portanto, para cada ponto
, o segmento vertical é
.
Passo 3
Montagem da integral do volume. O volume é a integral tripla do elemento de volume
. Fazendo a integração em
primeiro, para cada
o comprimento vertical é
. Assim em termos do projeto no plano
:
Em coordenadas polares (cilíndricas no plano
) substituímos
e
. Logo o integrando se torna
. E os limites são
,
. Assim
Passo 4
Cálculo da integral em
. A integral é separável porque o integrando é produto de função de
por função de
. Primeiro integramos em
:
Passo 5
Cálculo da integral em
e simplificação final. Agora integramos em
:
Como
, obtemos
Como aproximação numérica,
, então
Observação final: se o cilindro do enunciado não for
ou se houver um valor numérico dado para
, o resultado numérico muda. Como o enunciado original não forneceu a equação do cilindro nem um valor para
, apresentei a solução para o caso mais comum
.