Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+5 x^{2}+4 x-2}{x^{7}-3 x+1}=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+5x^{2}+4x-2}{x^{7}-3x+1}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{3}+5x^{2}+4x-2.
  • Denominador: x^{7}-3x+1.
  • A variável x tende para -\infty.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma direta): quando x vai para \pm\infty os termos de maior grau em polinômios dominam o comportamento. Aqui o numerador tem grau \,3 e o denominador tem grau \,7. Para justificar formalmente, dividimos numerador e denominador por x^{7} (a maior potência presente).
Dividindo tudo por x^{7} obtemos
\frac{x^{3}+5x^{2}+4x-2}{x^{7}-3x+1} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{7}}+\dfrac{5x^{2}}{x^{7}}+\dfrac{4x}{x^{7}}-\dfrac{2}{x^{7}}} {\dfrac{x^{7}}{x^{7}}-\dfrac{3x}{x^{7}}+\dfrac{1}{x^{7}}} = \frac{\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{5}{x^{5}}+\dfrac{4}{x^{6}}-\dfrac{2}{x^{7}}} {1-\dfrac{3}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{7}}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite termo a termo quando x\to -\infty.
  • Para todo inteiro positivo k tem-se \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. (O motivo: \left|\dfrac{1}{x^{k}}\right|=1/|x|^{k} vai para 0.)
  • Portanto os termos \dfrac{1}{x^{4}},\dfrac{5}{x^{5}},\dfrac{4}{x^{6}},\dfrac{2}{x^{7}},\dfrac{3}{x^{6}},\dfrac{1}{x^{7}} todos tendem a 0 quando x\to -\infty.
Assim, passando ao limite na expressão da Fração,
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{5}{x^{5}}+\dfrac{4}{x^{6}}-\dfrac{2}{x^{7}}} {1-\dfrac{3}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{7}}} =\frac{0+0+0-0}{1-0+0}=\frac{0}{1}=0.
Interpretação intuitiva alternativa (útil para a prova): quando o grau do denominador é maior que o do numerador (aqui 7>3), o quociente de polinômios tende a 0 em \pm\infty, porque o fator dominante no quociente é da forma \dfrac{a x^{3}}{b x^{7}}=(a/b)x^{-4} que vai a 0.

Resposta

0

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