Estratégia (explicada de forma direta): quando x vai para \pm\infty os termos de maior grau em polinômios dominam o comportamento. Aqui o numerador tem grau \,3 e o denominador tem grau \,7. Para justificar formalmente, dividimos numerador e denominador por x^{7} (a maior potência presente).
Dividindo tudo por x^{7} obtemos
Agora analisamos o limite termo a termo quando x\to -\infty.
Para todo inteiro positivo k tem-se \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. (O motivo: \left|\dfrac{1}{x^{k}}\right|=1/|x|^{k} vai para 0.)
Portanto os termos \dfrac{1}{x^{4}},\dfrac{5}{x^{5}},\dfrac{4}{x^{6}},\dfrac{2}{x^{7}},\dfrac{3}{x^{6}},\dfrac{1}{x^{7}} todos tendem a 0 quando x\to -\infty.
Interpretação intuitiva alternativa (útil para a prova): quando o grau do denominador é maior que o do numerador (aqui 7>3), o quociente de polinômios tende a 0 em \pm\infty, porque o fator dominante no quociente é da forma \dfrac{a x^{3}}{b x^{7}}=(a/b)x^{-4} que vai a 0.