Calcule os limites (justifique a resposta):
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{5}+3 x^{2}-1}{2 x^{3}-x+2}=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{5x^{5}+3x^{2}-1}{2x^{3}-x+2}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • O numerador é um polinômio de grau 5 com coeficiente líder 5 (termo 5x^5).
    • O denominador é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder 2 (termo 2x^3).
    • Observação útil: o grau do numerador é maior que o do denominador ( 5>3 ).

Passo 2

Escolha do método e fatoração para simplificar o comportamento para x\to -\infty.
  • Um método simples e padrão para limites de funções racionais quando x tende a infinito (ou menos infinito) é fatorar potências de x para identificar os termos dominantes e ver o que sobra.
  • Como o denominador tem grau 3, vamos fatorar x^{3} no numerador e denominador para expor uma potência x^{2} que ficará multiplicando uma fração que tende a constante. Isso facilita a análise do sinal e do crescimento.
Fatorando x^{3}:
\frac{5x^{5}+3x^{2}-1}{2x^{3}-x+2} = \frac{x^{3}\big(5x^{2}+3x^{-1}-x^{-3}\big)}{x^{3}\big(2 - x^{-2} + 2x^{-3}\big)}
Cancelando x^{3} (válido para x\neq 0, e o comportamento para x\to -\infty pode ser estudado assim):
\frac{5x^{5}+3x^{2}-1}{2x^{3}-x+2} = x^{2}\cdot\frac{5 + 3x^{-3} - x^{-5}}{2 - x^{-2} + 2x^{-3}}.

Passo 3

Analisar o limite da fração que multiplica x^{2}.
  • Para x\to -\infty temos x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}\to 0 para todo n>0, porque x^{n} tem módulo que vai para +\infty.
  • Portanto cada termo com potência negativa tende a zero: 3x^{-3}\to 0,\qquad -x^{-5}\to 0,\qquad -x^{-2}\to 0,\qquad 2x^{-3}\to 0.
  • Logo a fração converge para a razão dos coeficientes líderes:
\frac{5 + 3x^{-3} - x^{-5}}{2 - x^{-2} + 2x^{-3}} \longrightarrow \frac{5}{2}\quad\text{quando }x\to -\infty.

Passo 4

Analisar o fator x^{2} quando x\to -\infty e combinar os resultados.
  • Para x\to -\infty temos \;x^{2}\to +\infty\; porque elevar ao quadrado elimina o sinal e o módulo cresce sem limite.
  • Já mostramos que a fração tende a \dfrac{5}{2}, que é um número positivo e finito.
  • Usando a propriedade intuitiva de limites: se a(x)\to +\infty e b(x)\to c com c>0 finito, então a(x)\,b(x)\to +\infty.
  • Aplicando aqui:
x^{2}\cdot\frac{5 + 3x^{-3} - x^{-5}}{2 - x^{-2} + 2x^{-3}} \longrightarrow +\infty\cdot\frac{5}{2}=+\infty.

Passo 5

Interpretação pelo termo dominante (verificação rápida de sinal).
  • Outra forma de ver: os termos dominantes são 5x^{5} no numerador e 2x^{3} no denominador. A razão dominante é
\frac{5x^{5}}{2x^{3}}=\frac{5}{2}x^{2},
que para x\to -\infty tende para +\infty. Isso confirma o resultado anterior e explica por que o limite é positivo infinito.

Resposta

+\infty

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