Calcule os limites (justifique a resposta):
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é um polinômio de grau
com coeficiente líder (termo ). - O denominador é um polinômio de grau
com coeficiente líder (termo ). - Observação útil: o grau do numerador é maior que o do denominador (
).
- O numerador é um polinômio de grau
Passo 2
Escolha do método e fatoração para simplificar o comportamento para
.
- Um método simples e padrão para limites de funções racionais quando
tende a infinito (ou menos infinito) é fatorar potências de para identificar os termos dominantes e ver o que sobra. - Como o denominador tem grau
, vamos fatorar no numerador e denominador para expor uma potência que ficará multiplicando uma fração que tende a constante. Isso facilita a análise do sinal e do crescimento.
Fatorando
:
Cancelando
(válido para
, e o comportamento para
pode ser estudado assim):
Passo 3
Analisar o limite da fração que multiplica
.
- Para
temos para todo , porque tem módulo que vai para . - Portanto cada termo com potência negativa tende a zero:
- Logo a fração converge para a razão dos coeficientes líderes:
Passo 4
Analisar o fator
quando
e combinar os resultados.
- Para
temos porque elevar ao quadrado elimina o sinal e o módulo cresce sem limite. - Já mostramos que a fração tende a
, que é um número positivo e finito. - Usando a propriedade intuitiva de limites: se
e com finito, então . - Aplicando aqui:
Passo 5
Interpretação pelo termo dominante (verificação rápida de sinal).
- Outra forma de ver: os termos dominantes são
no numerador e no denominador. A razão dominante é
que para
tende para
. Isso confirma o resultado anterior e explica por que o limite é positivo infinito.