Encontre o volume do paralelepípedo de arestas \mathbf{u}, \mathbf{v} e w em cada caso a seguir:
(a) \mathbf{u}=(2,6,2), \mathbf{v}=(0,4,-2) e \mathbf{w}=(2,-2,4)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores \mathbf u=(2,6,2), \mathbf v=(0,4,-2) e \mathbf w=(2,-2,4).
O conteúdo aqui é o produto misto (ou produto escalar triplo), e a fórmula é
\text{Volume} = \bigl|\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)\bigr|.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \mathbf v\times\mathbf w via determinante:
\mathbf v\times\mathbf w = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 0 & 4 & -2\\\\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (4\cdot4 - (-2)\cdot(-2))\,\mathbf i - (0\cdot4 - (-2)\cdot2)\,\mathbf j + (0\cdot(-2) - 4\cdot2)\,\mathbf k =12\,\mathbf i -4\,\mathbf j -8\,\mathbf k.

Passo 3

Agora o produto escalar \mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w):
\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w) = (2,6,2)\cdot(12,-4,-8) =2\cdot12 + 6\cdot(-4) + 2\cdot(-8) =24 -24 -16 =-16.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse resultado:
\text{Volume} = \lvert -16\rvert = 16.

Resposta

16

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