Em cada item, prove:
(b) \mathbf{u} \cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{z})=-(\mathbf{u} \times \mathbf{z}) \cdot \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade da produto triplo escalar
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z})=-(\mathbf{u}\times\mathbf{z})\cdot\mathbf{v}.
O conteúdo envolvido é álgebra vetorial, em particular as propriedades do produto vetorial (anticomutatividade) e do produto escalar aplicado ao produto vetorial (propriedade cíclica do triplo escalar).

Passo 2

Usamos a propriedade cíclica do triplo escalar, que diz, para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \;=\;\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}).
Tomando \mathbf{a}=\mathbf{u}, \mathbf{b}=\mathbf{v} e \mathbf{c}=\mathbf{z}, obtemos
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z}) \;=\;\mathbf{v}\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{u}).

Passo 3

Lembramos que o produto vetorial é anticomutativo:
\mathbf{z}\times\mathbf{u} = -\,(\mathbf{u}\times\mathbf{z}).

Passo 4

Substituindo essa anticomutatividade na igualdade do Passo 2,
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z}) =\mathbf{v}\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{u}) =\mathbf{v}\cdot\bigl(-(\mathbf{u}\times\mathbf{z})\bigr) =-\,\mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{z}).

Passo 5

Por fim, como o produto escalar é comutativo, \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{z})=(\mathbf{u}\times\mathbf{z})\cdot\mathbf{v}. Logo,
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z}) =-\,(\mathbf{u}\times\mathbf{z})\cdot\mathbf{v},
que é exatamente o que se queria provar.

Resposta

\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{z})=-(\mathbf{u}\times\mathbf{z})\cdot\mathbf{v}.

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