Em cada item, prove:
(a) (\mathbf{u}+k \mathbf{v}) \times \mathbf{v}=\mathbf{u} \times \mathbf{v}

Passo 1

O enunciado pede para provar a seguinte igualdade envolvendo produto vetorial:
(\mathbf{u} + k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}.
O conteúdo que vamos usar é a bilinearidade do produto vetorial, ou seja, que ele é distributivo em cada argumento e “puxa” escalares para fora. Também usaremos que todo vetor cruz ele mesmo é o vetor nulo.

Passo 2

Aplicamos a distributividade do produto vetorial em relação à soma no primeiro fator. Ou seja, para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} vale
(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{c} + \mathbf{b} \times \mathbf{c}.
Assim, com \mathbf{a}=\mathbf{u} e \mathbf{b}=k\,\mathbf{v}, temos
(\mathbf{u} + k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + (k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v}.

Passo 3

Usamos agora a homogeneidade (ou bilinearidade) do produto vetorial em relação a escalares: para qualquer escalar k e vetores \mathbf{a},\mathbf{b} vale
(k\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
Logo,
(k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v} = k\,\bigl(\mathbf{v} \times \mathbf{v}\bigr).

Passo 4

Finalmente, usamos a propriedade de que todo vetor cruz ele mesmo é o vetor nulo:
\mathbf{v} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}.
Substituindo na expressão do Passo 2,
(\mathbf{u} + k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + k\,(\mathbf{v} \times \mathbf{v}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + k\,\mathbf{0} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}.

Resposta

(\mathbf{u} + k\,\mathbf{v}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}.

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