Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=2-\frac{1}{2} x, y=0, x=1 e x=2 \mathrm{em} torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região plana limitada pelas curvas
y = 2 - \tfrac12 x,\quad y=0,\quad x=1,\quad x=2.
O conteúdo usado será o método dos discos, que calcula volumes de revolução integrando a área de seções circulares transversais.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x é um círculo de raio igual à ordenada y. Assim, o volume é
V = \pi \int_{x=1}^{x=2} \bigl(\text{raio}\bigr)^2 \,dx = \pi \int_{1}^{2} \bigl(2 - \tfrac12 x\bigr)^2 dx.

Passo 3

Expandindo o quadrado no integrando:
\bigl(2 - \tfrac12 x\bigr)^2 = 4 - 2x + \tfrac14 x^2.
Logo
V = \pi \int_{1}^{2} \bigl(4 - 2x + \tfrac14 x^2\bigr) dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \bigl(4 - 2x + \tfrac14 x^2\bigr) dx = 4x - x^2 + \tfrac{1}{12}x^3 + C.

Passo 5

Avaliamo de 1 a 2:
em x=2 temos 4\cdot2 - 2^2 + \tfrac{1}{12}2^3 = 8 - 4 + \tfrac{8}{12} = 4 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{14}{3},
em x=1 temos 4\cdot1 - 1^2 + \tfrac{1}{12}1^3 = 4 - 1 + \tfrac{1}{12} = 3 + \tfrac{1}{12} = \tfrac{37}{12}.
A diferença é
\tfrac{14}{3} - \tfrac{37}{12} = \tfrac{56}{12} - \tfrac{37}{12} = \tfrac{19}{12}.
Portanto
V = \pi \cdot \tfrac{19}{12} = \tfrac{19\pi}{12}.

Resposta

V = \tfrac{19\pi}{12}.

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