Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=1+\operatorname{sec} (x) e y=3 em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
y = 1 + \operatorname{sec}(x)
e
y = 3
em torno da reta
y = 1.
O método apropriado é o dos discos (ou anéis), já que a rotação em torno de uma reta horizontal mantém fatias verticais.

Passo 2

Precisamos determinar os limites em x da região. Igualamos
1 + \operatorname{sec}(x) = 3
para achar onde as duas curvas se encontram:
\operatorname{sec}(x) = 2 \quad\Longrightarrow\quad \cos(x) = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Ao girar em torno de y=1:
– o raio externo é
R_{\text{ext}} = 3 - 1 = 2,
– o raio interno é
R_{\text{int}}(x) = (1 + \operatorname{sec}(x)) - 1 = \operatorname{sec}(x).

Passo 4

O volume fica dado por
V = \int_{x=-\pi/3}^{\pi/3} \pi\bigl[R_{\text{ext}}^2 - R_{\text{int}}(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(4 - \operatorname{sec}^2(x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int\bigl(4 - \operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx = 4x - \tan(x),
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V = \pi\Bigl[4x - \tan(x)\Bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \pi\Bigl(4\cdot\tfrac{2\pi}{3} -\bigl[\tan(\tfrac\pi3)-\tan(-\tfrac\pi3)\bigr]\Bigr).
Como \tan(\tfrac\pi3)=\sqrt3 e \tan(-\tfrac\pi3)=-\sqrt3, tem-se
\tan(\tfrac\pi3)-\tan(-\tfrac\pi3)=2\sqrt3
e
4\cdot\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{8\pi}{3}.
Portanto
V = \pi\Bigl(\tfrac{8\pi}{3} - 2\sqrt3\Bigr) = \frac{8\pi^2}{3} - 2\pi\sqrt3.

Resposta

\boxed{V = \frac{8\pi^2}{3} - 2\pi\sqrt3.}

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