Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
y=e^{-x^{2}}, y=0, x=0 \mathrm{e} x=1, \mathrm{em} torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por y=e^{-x^{2}}, y=0, x=0 e x=1 em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas. Precisamos lembrar que, nesse método, um elemento de volume é dado por
dV=2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(\text{espessura}).

Passo 2

Identificamos para cada casca:
– raio =x (distância ao eixo y),
– altura =e^{-x^{2}}-0=e^{-x^{2}},
– espessura =dx.
Logo
dV=2\pi\,x\,e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 3

O volume total é a integral de dV de x=0 até x=1:
V=2\pi\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos a substituição u=x^{2}, de onde du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{du}{2}. Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim
V=2\pi\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}}\,dx =2\pi\int_{u=0}^{u=1}e^{-u}\,\frac{du}{2} =\pi\int_{0}^{1}e^{-u}\,du.

Passo 5

A integral de e^{-u} é -e^{-u}, logo
V =\pi\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} =\pi\bigl(-e^{-1}+e^{0}\bigr) =\pi\bigl(1-e^{-1}\bigr).

Resposta

\pi\bigl(1-e^{-1}\bigr)

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