Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
y=x^{2} e y=x, em torno do eixo y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=2 a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x. Vamos usar o método dos discos (arruelas). Primeiro identificamos a região no plano xy: é o “furo” entre a parábola y=x^2 e a reta y=x para 0\le x\le1. Ao girar isso em torno de y=2, formamos um anel toroidal com raio externo e interno variando com x.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção de y=x^2 e y=x resolvendo
x^2 = x
x(x-1)=0
Logo as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Para 0\le x\le1 temos x^2\le x, ou seja, a reta está sempre acima da parábola.

Passo 3

Como o eixo de rotação é y=2, a distância de um ponto (x,y) até esse eixo é \bigl|2-y\bigr|. Para cada x em [0,1]:
  • a curva inferior y=x^2 fica mais longe do eixo, definindo o raio externo R(x)=2 - x^2,
  • a curva superior y=x define o raio interno r(x)=2 - x.

Passo 4

Pelo método das arruelas, o volume é
V = \pi \int_{x=0}^{1}\Bigl[R(x)^2 - r(x)^2\Bigr]\,dx = \pi \int_{0}^{1}\Bigl[(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2\Bigr]\,dx.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2 = \bigl(4 -4x^2 + x^4\bigr) - \bigl(4 -4x + x^2\bigr) = x^4 -5x^2 +4x.
Assim
V = \pi \int_{0}^{1}\bigl(x^4 -5x^2 +4x\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculando a integral:
\int_{0}^{1}x^4\,dx = \frac{1}{5},\quad \int_{0}^{1}x^2\,dx = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}4x\,dx = 2.
Logo
V = \pi\Bigl(\tfrac{1}{5} -5\cdot \tfrac{1}{3} +2\Bigr) = \pi\Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{5}{3} +2\Bigr) = \pi\Bigl(\tfrac{11}{5} - \tfrac{5}{3}\Bigr) = \pi\cdot\tfrac{8}{15} = \frac{8\pi}{15}.

Resposta

O volume do sólido gerado é \displaystyle \frac{8\pi}{15}.

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