Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido. y=x^{2} e y=x, em torno do eixo y=2.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=2 a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x. Vamos usar o método dos discos (arruelas). Primeiro identificamos a região no plano xy: é o “furo” entre a parábola y=x^2 e a reta y=x para 0\le x\le1. Ao girar isso em torno de y=2, formamos um anel toroidal com raio externo e interno variando com x.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção de y=x^2 e y=x resolvendo
x^2 = x
x(x-1)=0
Logo as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Para 0\le x\le1 temos x^2\le x, ou seja, a reta está sempre acima da parábola.
Passo 3
Como o eixo de rotação é y=2, a distância de um ponto (x,y) até esse eixo é \bigl|2-y\bigr|. Para cada x em [0,1]:
a curva inferior y=x^2 fica mais longe do eixo, definindo o raio externoR(x)=2 - x^2,
a curva superior y=x define o raio internor(x)=2 - x.