Calcule as seguintes integrais impróprias:
\int_{0}^{4} \frac{d x}{x^{2}+x-6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{4} \frac{dx}{x^{2}+x-6}
O conteúdo é de integrais impróprias de função que tem singularidade onde o denominador anula. Vamos identificar as raízes de x^{2}+x-6 e depois verificar a convergência, usando decomposição em frações parciais e limites laterais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Em seguida escrevemos
\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos
1=A(x+3)+B(x-2).
Para x=2 vem 1=5A, logo A=\tfrac{1}{5}.
Para x=-3 vem 1=-5B, logo B=-\tfrac{1}{5}.
Assim a antiderivada é
\int \frac{dx}{x^{2}+x-6} =\frac{1}{5}\int\frac{dx}{x-2}-\frac{1}{5}\int\frac{dx}{x+3} =\frac{1}{5}\ln\bigl|x-2\bigr|-\frac{1}{5}\ln\bigl|x+3\bigr|+C.

Passo 3

Como há singularidade em x=2, dividimos a integral em
\int_{0}^{4}\frac{dx}{x^{2}+x-6} =\lim_{t\to2^-}\int_{0}^{t}\frac{dx}{x^{2}+x-6} +\lim_{s\to2^+}\int_{s}^{4}\frac{dx}{x^{2}+x-6}.
Usando F(x)=\frac{1}{5}\ln\!\bigl|\tfrac{x-2}{x+3}\bigr|, no primeiro termo:
\int_{0}^{t}=\bigl[F(t)-F(0)\bigr] \quad\text{e ao levar }t\to2^-\text{ temos }F(t)\to-\infty.
Isso faz com que o limite seja -\infty. No segundo termo:
\int_{s}^{4}=\bigl[F(4)-F(s)\bigr] \quad\text{e ao levar }s\to2^+\text{ temos }F(s)\to-\infty,
então esse limite é +\infty. Cada parte diverge separadamente.

Passo 4

Para uma integral imprópria convergir, cada um dos limites deve ser finito. Aqui tanto \int_{0}^{2^-} quanto \int_{2^+}^{4} são divergentes, logo a integral original não converge.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não existe valor finito para
\int_{0}^{4}\frac{dx}{x^{2}+x-6}.

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