Calcule as seguintes integrais impróprias: \int_{0}^{4} \frac{d x}{x^{2}+x-6}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{4} \frac{dx}{x^{2}+x-6}
O conteúdo é de integrais impróprias de função que tem singularidade onde o denominador anula. Vamos identificar as raízes de x^{2}+x-6 e depois verificar a convergência, usando decomposição em frações parciais e limites laterais.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Em seguida escrevemos
\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando em cruz e comparando coeficientes, obtemos
1=A(x+3)+B(x-2).
Para x=2 vem 1=5A, logo A=\tfrac{1}{5}.
Para x=-3 vem 1=-5B, logo B=-\tfrac{1}{5}.
Assim a antiderivada é
Usando F(x)=\frac{1}{5}\ln\!\bigl|\tfrac{x-2}{x+3}\bigr|, no primeiro termo:
\int_{0}^{t}=\bigl[F(t)-F(0)\bigr] \quad\text{e ao levar }t\to2^-\text{ temos }F(t)\to-\infty.
Isso faz com que o limite seja -\infty. No segundo termo:
\int_{s}^{4}=\bigl[F(4)-F(s)\bigr] \quad\text{e ao levar }s\to2^+\text{ temos }F(s)\to-\infty,
então esse limite é +\infty. Cada parte diverge separadamente.
Passo 4
Para uma integral imprópria convergir, cada um dos limites deve ser finito. Aqui tanto \int_{0}^{2^-} quanto \int_{2^+}^{4} são divergentes, logo a integral original não converge.
Resposta
A integral diverge, ou seja, não existe valor finito para