Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x^2+1, y=9-x^2 ; em torno de y=-1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução gerado pela região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 9 - x^2 ao redor de y = -1. Como a rotação é em torno de uma reta horizontal, aplicaremos o método dos anéis (washers), integrando em x.

Passo 2

As curvas se cruzam onde
x^2 + 1 = 9 - x^2
2x^2 = 8
x^2 = 4
portanto x = -2 e x = 2. Para cada x em [-2,2], o raio externo (até a curva superior y = 9 - x^2) é
R(x) = (9 - x^2) - (-1) = 10 - x^2,
e o raio interno (até a curva inferior y = x^2 + 1) é
r(x) = (x^2 + 1) - (-1) = x^2 + 2

Passo 3

O volume é dado por
V = pi integral-2^2 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral-2^2 l[(10 - x^2)^2 - (x^2 + 2)^2r],dx

Passo 4

No integrando,
(10 - x^2)^2 - (x^2 + 2)^2 = (100 - 20x^2 + x^4) - (x^4 + 4x^2 + 4) = 96 - 24x^2
Logo
V = pi integral-2^2 (96 - 24x^2),dx = pi l[96x - 24cdotx^33r]-2^2 = pi (384 - 128) = 256pi

Resposta

O volume do sólido é 256pi.

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