(2,0) Determine, se houverem, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função:
f(x)=x^2+x-6x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da função racional
f(x) = x^2 + x - 6x^2 - 2x
O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, simplificação de frações racionais e cálculo de limites em pontos críticos e no infinito.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador:
x^2+x-6 = (x+3)(x-2), x^2-2x = x,(x-2)
Logo
f(x) = (x+3)(x-2)x,(x-2) = x+3x,
com a ressalva de que em x=2 havia um fator cancelado, gerando um ponto de descontinuidade removível (buraco).

Passo 3

Os zeros do denominador original são x=0 e x=2.
– Em x=2 o numerador também é zero, o que indica descontinuidade removível, não assíntota.
– Em x=0 o numerador simplificado vale 3neq0, portanto há assíntota vertical
x = 0

Passo 4

Para a assíntota horizontal, como o grau do numerador e do denominador da expressão original são iguais ( 2 e 2), ela é dada pela razão dos coeficientes líderes, ou seja
y = 11 = 1
Também se confirma calculando
limxtopminftyf(x) ;=;limxtopminftyx+3x = 1

Resposta

A assíntota vertical é x=0 e a assíntota horizontal é y=1.

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