Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=1 / x, x=1, x=2, y=0; ao redor do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por \;y=\tfrac1x, x=1, x=2 e y=0 em torno do eixo x. O conteúdo aqui é o método dos discos, que usa a fórmula de volume
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[\text{raio}(x)\bigr]^{2} \,dx.

Passo 2

Ao girar em torno do eixo x, cada seção perpendicular a x é um disco de raio igual à distância da curva ao eixo. Como a região vai de y=0 até y=\tfrac1x, temos
outer radius R(x)=\tfrac1x
inner radius r(x)=0.

Passo 3

Substituindo na fórmula dos discos, o volume é
V = \pi \int_{1}^{2} \Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{2} dx = \pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral, encontramos a antiderivada de x^{-2}:
\int x^{-2}\,dx = -\,\frac{1}{x}.

Passo 5

Avaliamo-la de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(-\tfrac12\bigr)-\bigl(-1\bigr) = \tfrac12.

Passo 6

Multiplicando por \pi, obtemos
V = \pi \times \tfrac12 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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