Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Então calcule a área da região.
y=|x|, y=x^{2}-2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas
y = |x|
e
y = x^{2} - 2
e, em seguida, calcular a área dessa região. O conteúdo envolve esboço de gráficos e cálculo de área entre duas curvas usando integração.

Passo 2

Para entender onde as curvas se cruzam, resolvemos
|x| = x^{2} - 2.
Dividimos em dois casos:
Caso x \ge 0: x = x^{2} - 2 leva a
x^{2} - x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Como x\ge0, fica x = 2. Então o ponto é (2,2).
Caso x < 0: -x = x^{2} - 2 leva a
x^{2} + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
Como x<0, fica x = -2. Então o ponto é (-2,2).

Passo 3

O esboço mostra que, entre x=-2 e x=2, a curva superior é y = |x| e a inferior é y = x^{2}-2. Logo, a área procurada é
\int_{-2}^{2}\bigl(|x| - (x^{2}-2)\bigr)\,dx.
Como a região é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular
\text{Área} = 2 \int_{0}^{2}\bigl(x - (x^{2}-2)\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Simplificando o integrando para x\ge0:
x - (x^{2}-2) = -x^{2} + x + 2.
Então
\int_{0}^{2}(-x^{2} + x + 2)\,dx = \Bigl(-\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2x\Bigr)\Big|_{0}^{2} = \Bigl(-\frac{8}{3} + 2 + 4\Bigr) - 0 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{10}{3}.
Multiplicando por 2, obtemos
\text{Área} = 2 \times \frac{10}{3} = \frac{20}{3}.Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é \displaystyle \frac{20}{3} unidades de área.

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