Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=x, y=\sqrt{x}; ao redor de y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=1 a região limitada pelas curvas y=x e y=\sqrt{x} No intervalo de interseção entre essas curvas (que vamos achar no passo seguinte) usaremos o método dos anéis (washers), aplicando a fórmula
V = \int_{a}^{b} \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos x = \sqrt{x} Elevando ambos os lados ao quadrado,
x^2 = x \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1
Logo a região está para x\in[0,1].

Passo 3

Em 0\le x\le1, observa-se que \sqrt{x}\ge x, de modo que ambas as curvas ficam abaixo de y=1.
A distância (raio) de cada curva ao eixo y=1 é
R(x)=1 - y_{\text{inferior}} = 1 - x
r(x)=1 - y_{\text{superior}} = 1 - \sqrt{x}
Aqui R(x) é o raio externo (maior) e r(x) o interno (menor).

Passo 4

Escrevemos o volume como
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl[(1 - x)^2 - (1 - \sqrt{x})^2\bigr]\,dx.
Simplificando o integrando:
(1 - x)^2 - (1 - \sqrt{x})^2 = \bigl(1 - 2x + x^2\bigr) - \bigl(1 - 2\sqrt{x} + x\bigr) = x^2 - 3x + 2\sqrt{x}.
Portanto
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^2 - 3x + 2x^{1/2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1} (-3x)\,dx = -\frac{3x^2}{2}\Big|_{0}^{1} = -\frac{3}{2},
\int_{0}^{1} 2x^{1/2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}\Big|_{0}^{1} = \frac{4}{3}.
Somando:
\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{1+4}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{10-9}{6} = \frac{1}{6}.
Logo
V = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

\frac{\pi}{6}

Exercícios relacionados