Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de
a região limitada pelas curvas
e
No intervalo de interseção entre essas curvas (que vamos achar no passo seguinte) usaremos o método dos anéis (washers), aplicando a fórmula
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos
Elevando ambos os lados ao quadrado,
Logo a região está para
.
Passo 3
Em
, observa-se que
, de modo que ambas as curvas ficam abaixo de
.
A distância (raio) de cada curva ao eixo é
A distância (raio) de cada curva ao eixo
Aqui
é o raio externo (maior) e
o interno (menor).
Passo 4
Escrevemos o volume como
Simplificando o integrando:
Portanto
Passo 5
Calculamos a integral:
Somando:
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