Use o método de cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curvas dadas.
x=\sqrt{y}, x=0, y=1; ao redor do eixo x .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por \;x=\sqrt{y},\;x=0,\;y=1.
Como o eixo de rotação é horizontal, vamos usar cascas cilíndricas obtidas por retângulos horizontais em função de y.

Passo 2

Cada casca, a uma altura y, tem:
– raio =y (distância ao eixo x);
– altura =x_{\max}-x_{\min}=\sqrt{y}-0=\sqrt{y};
– espessura =dy.
Logo o volume elementar é
dV = 2\pi\,( \text{raio} )\,( \text{altura} )\,dy =2\pi\,y\;\sqrt{y}\;dy =2\pi\,y^{3/2}\,dy.

Passo 3

Integramos de y=0 até y=1:
V=\int_{0}^{1}2\pi\,y^{3/2}\,dy =2\pi\left[\frac{y^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} =2\pi\cdot\frac{2}{5}\Bigl(1^{5/2}-0\Bigr) =\frac{4\pi}{5}.

Resposta

V=\frac{4\pi}{5}.

Exercícios relacionados