Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
, em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno de
, a região do plano limitada pela curva
e pela reta
. O conteúdo aqui é o método dos casquilhos cilíndricos (shells), pois estamos girando em torno de uma reta horizontal e a função está dada em termos de
.
Passo 2
Precisamos do intervalo de variação de
. As fronteiras verticais se encontram quando
ou seja
que dá
e
. Logo estamos entre
e
.
Passo 3
No método dos casquilhos cilíndricos, um elemento em altura
a uma distância
do eixo
gera um volume infinitesimal
Aqui o raio é
e a “altura” do casquilho é a extensão em
, dado por
Passo 4
Portanto
O volume total é a integral de
de
a
:
Passo 5
Calculemos a integral:
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