Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
x=12\left(y^{2}-y^{3}\right), x=0, em torno de y=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno de y=0, a região do plano limitada pela curva
x = 12\bigl(y^{2} - y^{3}\bigr)
e pela reta x = 0. O conteúdo aqui é o método dos casquilhos cilíndricos (shells), pois estamos girando em torno de uma reta horizontal e a função está dada em termos de y.

Passo 2

Precisamos do intervalo de variação de y. As fronteiras verticais se encontram quando
12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)=0
ou seja
y^{2}(1-y)=0
que dá y=0 e y=1. Logo estamos entre y=0 e y=1.

Passo 3

No método dos casquilhos cilíndricos, um elemento em altura dy a uma distância y do eixo y=0 gera um volume infinitesimal
dV = 2\pi\;( \text{raio} )\;( \text{altura} )\;dy.
Aqui o raio é y e a “altura” do casquilho é a extensão em x, dado por
\text{altura} = x_{\rm direita} - x_{\rm esquerda} = 12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr) - 0 = 12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr).

Passo 4

Portanto
dV = 2\pi \,y \;\times\; 12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)\,dy = 24\pi\;\bigl(y^{3}-y^{4}\bigr)\,dy.
O volume total é a integral de dV de y=0 a y=1:
V = \int_{0}^{1}24\pi\bigl(y^{3}-y^{4}\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculemos a integral:
\int_{0}^{1}\bigl(y^{3}-y^{4}\bigr)\,dy = \left[\frac{y^{4}}{4}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}-\frac{1}{5} = \frac{1}{20}.
Logo
V = 24\pi \times \frac{1}{20} = \frac{24}{20}\,\pi = \frac{6}{5}\,\pi.

Resposta

\displaystyle V = \frac{6\pi}{5}.

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