Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=x^{2}, y=0, x=1, em torno de y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta y=2 a região do plano limitada por \,y = x^2, \,y=0 e \,x=1.
O conteúdo aplicado será o método dos discos/aros (washers), pois giramos em torno de uma reta horizontal.

Passo 2

Em cada posição x\in[0,1], o sólido gerado tem seção transversal perpendicular ao eixo x composta por um disco externo de raio
R = \bigl|\!2 - 0\bigr| = 2
e um furo interno (disco removido) de raio
r = \bigl|\!2 - x^2\bigr| = 2 - x^2\,.

Passo 3

Pelo método dos aros, o volume é
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl(R^{2} - r^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a diferença dos quadrados dos raios:
R^{2} - r^{2} = 4 - (2 - x^{2})^{2} = 4 - \bigl(4 - 4x^{2} + x^{4}\bigr) = 4x^{2} - x^{4}.

Passo 5

Substituindo na integral, obtemos
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(4x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculando a integral:
\int_{0}^{1} \bigl(4x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx = \left[\frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} - \frac{1}{5} = \frac{20 - 3}{15} = \frac{17}{15}.

Resposta

V = \frac{17\pi}{15}.

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