Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
, em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de
a região no plano
limitada por
O conteúdo é o método dos cascos cilíndricos (shells) para eixos horizontais, pois é mais simples usar fatias horizontais em
.
Passo 2
Determinar os limites em
da região. Igualando
na curva:
Logo a região corresponde a
e
.
Passo 3
Para cada fatia horizontal em
, o casco cilíndrico tem:
- raio
(pois ), - altura
.
Pelo método dos cascos,
Passo 4
Simplificar o integrando:
então
Passo 5
Calcular a integral:
Logo
Passo 6
Substituindo,