Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
x=12\left(y^{2}-y^{3}\right), x=0, em torno de y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=1 a região no plano xy limitada por
x = 12\bigl(y^2 - y^3\bigr) \quad\text{e}\quad x = 0.
O conteúdo é o método dos cascos cilíndricos (shells) para eixos horizontais, pois é mais simples usar fatias horizontais em y.

Passo 2

Determinar os limites em y da região. Igualando x=0 na curva:
12\bigl(y^2 - y^3\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; y^2(1-y)=0 \;\Longrightarrow\; y=0\text{ ou }y=1.
Logo a região corresponde a 0\le y\le1 e 0\le x\le12(y^2 - y^3).

Passo 3

Para cada fatia horizontal em y, o casco cilíndrico tem:
  • raio r = |\,1 - y\,| = 1 - y (pois 0\le y\le1),
  • altura h = x_{\text{ext}} - x_{\text{int}} = 12(y^2 - y^3) - 0.
Pelo método dos cascos,
V = 2\pi \int_{y=0}^{1} r\cdot h \,dy = 2\pi \int_{0}^{1} (1-y)\,12\bigl(y^2 - y^3\bigr)\,dy.

Passo 4

Simplificar o integrando:
(1-y)\bigl(y^2 - y^3\bigr) = y^2 - 2y^3 + y^4,
então
V = 2\pi \cdot 12 \int_{0}^{1} \bigl(y^2 - 2y^3 + y^4\bigr)\,dy = 24\pi \int_{0}^{1} \bigl(y^2 - 2y^3 + y^4\bigr)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral:
\int_{0}^{1} y^2\,dy = \frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1} y^3\,dy = \frac{1}{4}, \quad \int_{0}^{1} y^4\,dy = \frac{1}{5}.
Logo
\int_{0}^{1}\bigl(y^2 - 2y^3 + y^4\bigr)\,dy = \frac{1}{3} - 2\cdot\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}.

Passo 6

Substituindo,
V = 24\pi \cdot \frac{1}{30} = \frac{24}{30}\,\pi = \frac{4}{5}\,\pi.

Resposta

\displaystyle V = \frac{4}{5}\,\pi.

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