Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
x=12\left(y^{2}-y^{3}\right), x=0, em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região em que
x=12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)
e x=0 em torno do eixo x=0 (que é o eixo y).
Conteúdo: volumes de revolução por discos (ou anéis), usando a fórmula
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\pi\bigl[R(y)\bigr]^{2}\,dy.

Passo 2

Determinar os limites em y. A curva x=12(y^{2}-y^{3}) é não negativa quando
y^{2}(1-y)\ge0\;\Longrightarrow\;0\le y\le1.
Logo, y varia de 0 a 1.

Passo 3

Para um dado y, a região vai de x=0 até
x=12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr).
Rotacionando em torno de x=0, cada seção perpendicular a y é um disco de raio
R(y)=12\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr).
Assim
V=\int_{0}^{1}\pi\bigl[R(y)\bigr]^{2}dy =\int_{0}^{1}\pi\bigl[12(y^{2}-y^{3})\bigr]^{2}dy.

Passo 4

Desenvolvendo o integrando:
[12(y^{2}-y^{3})]^{2} =144\bigl(y^{2}-y^{3}\bigr)^{2} =144\bigl(y^{4}-2y^{5}+y^{6}\bigr).
Então
V =144\pi\int_{0}^{1}(y^{4}-2y^{5}+y^{6})\,dy.

Passo 5

Calcular a integral:
\int_{0}^{1}(y^{4}-2y^{5}+y^{6})\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{5}}{5}-2\cdot\tfrac{y^{6}}{6}+\tfrac{y^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}.
Em comum denominador 105:
\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7} =\frac{21-35+15}{105} =\frac{1}{105}.
Portanto
V =144\pi\cdot\frac{1}{105} =\frac{144}{105}\,\pi =\frac{48}{35}\,\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{48\pi}{35}

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