Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta
. As curvas fornecidas e as informações relevantes são:
- Curvas:
e . - Eixo de rotação: a reta vertical
. - Pergunta: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Decidindo o método de integração (explicação didática e motivo da escolha).
- Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical, uma escolha natural é o método das cascas cilíndricas (shell method). Vou explicar ele bem devagarinho:
- Imagine cortar a região em tiras verticais de largura infinitesimal
. Cada tira, ao girar em torno de , gera uma casca cilíndrica fina. - O volume aproximado dessa casca é: (circunferência da casca)
(altura da casca) (espessura). - A circunferência é
vezes o raio da casca; a altura é a diferença entre a função de cima e a de baixo; a espessura é .
- Imagine cortar a região em tiras verticais de largura infinitesimal
- Fórmula prática (para uma rotação em torno de uma reta vertical): se a casca numa posição
tem raio e altura , então
- Por que escolhi cascas aqui: o eixo é vertical e as curvas se descrevem bem em função de
no intervalo de interesse, então integrar em usando cascas é direto e evita ter que resolver funções invertidas complicadas.
Passo 3
Determinar os limites de integração e qual é a função superior e inferior na direção vertical (identificar a região).
- Precisamos saber onde as curvas se intersectam para achar os limites em
. Vamos resolver o sistema e . - Substituindo
em obtemos . - Assim
- Fatorando,
- As raízes reais são
e . (As outras duas são complexas e não interessam aqui.)
- Substituindo
- Correspondentes
: para temos ; para temos . - Para
entre e , a curva (ou seja , usando a ramificação positiva pois estamos entre e ) fica acima de . Logo: - limite de integração em
: até . - altura da casca em
: topo menos fundo .
- limite de integração em
Passo 4
Identificar o raio da casca e escrever a integral aplicando a fórmula.
- Raio da casca: distância horizontal do ponto
até a reta de rotação . Então
- Altura já identificada:
. - Aplicando a fórmula das cascas:
- Para facilitar a integração, convertemos
para potência: . Então o integrando é
- Expandindo o produto (passo a passo para não se perder):
-
. -
. -
. -
.
-
- Portanto o integrando simplificado é
Passo 5
Integrar termo a termo e avaliar de
a
(aquela conta que dá preguiça, mas vamos destrinchar).
- Escrevemos a integral pronta:
- Integramos cada potência usando a regra
(válida para ): -
- Assim uma antiderivada é
- Avaliamos de
a . Em todas as parcelas são . Em temos: -
- Somando os termos em
: - Primeiro some
- Agora somamos
- Colocando em denominador comum
: -
, -
, -
.
-
- Soma:
- Primeiro some
- Então o valor dentro do parêntese é
e multiplicando por obtemos