Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
y=x^{2}, x=y^{2}; ao redor de x=-1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta x=-1. As curvas fornecidas e as informações relevantes são:
  • Curvas: y=x^{2} e x=y^{2}.
  • Eixo de rotação: a reta vertical x=-1.
  • Pergunta: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Decidindo o método de integração (explicação didática e motivo da escolha).
  • Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical, uma escolha natural é o método das cascas cilíndricas (shell method). Vou explicar ele bem devagarinho:
    • Imagine cortar a região em tiras verticais de largura infinitesimal \,dx. Cada tira, ao girar em torno de x=-1, gera uma casca cilíndrica fina.
    • O volume aproximado dessa casca é: (circunferência da casca) \times (altura da casca) \times (espessura).
    • A circunferência é 2\pi vezes o raio da casca; a altura é a diferença entre a função de cima e a de baixo; a espessura é \,dx.
  • Fórmula prática (para uma rotação em torno de uma reta vertical): se a casca numa posição x tem raio r(x) e altura h(x), então
V=\int_{a}^{b} 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx.
  • Por que escolhi cascas aqui: o eixo é vertical e as curvas se descrevem bem em função de x no intervalo de interesse, então integrar em x usando cascas é direto e evita ter que resolver funções invertidas complicadas.

Passo 3

Determinar os limites de integração e qual é a função superior e inferior na direção vertical (identificar a região).
  • Precisamos saber onde as curvas se intersectam para achar os limites em x. Vamos resolver o sistema \,y=x^{2} e \,x=y^{2}.
    • Substituindo y=x^{2} em x=y^{2} obtemos x=(x^{2})^{2}=x^{4}.
    • Assim
    x^{4}-x=0.
    • Fatorando,
    x(x^{3}-1)=x(x-1)(x^{2}+x+1)=0.
    • As raízes reais são x=0 e x=1. (As outras duas são complexas e não interessam aqui.)
  • Correspondentes y: para x=0 temos y=0; para x=1 temos y=1.
  • Para x entre 0 e 1, a curva x=y^{2} (ou seja y=\sqrt{x}, usando a ramificação positiva pois estamos entre y=0 e y=1) fica acima de y=x^{2}. Logo:
    • limite de integração em x: a=0 até b=1.
    • altura da casca em x: h(x)= topo menos fundo =\sqrt{x}-x^{2}.

Passo 4

Identificar o raio da casca e escrever a integral aplicando a fórmula.
  • Raio da casca: distância horizontal do ponto x até a reta de rotação x=-1. Então
r(x)=x-(-1)=x+1.
  • Altura já identificada: h(x)=\sqrt{x}-x^{2}=x^{1/2}-x^{2}.
  • Aplicando a fórmula das cascas:
V=\int_{0}^{1} 2\pi\,(x+1)\,(\sqrt{x}-x^{2})\,dx.
  • Para facilitar a integração, convertemos \sqrt{x} para potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então o integrando é
2\pi\,(x+1)\,(x^{1/2}-x^{2}).
  • Expandindo o produto (passo a passo para não se perder):
    • x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}.
    • x\cdot(-x^{2})=-x^{3}.
    • 1\cdot x^{1/2}=x^{1/2}.
    • 1\cdot(-x^{2})=-x^{2}.
  • Portanto o integrando simplificado é
2\pi\bigl(x^{3/2}-x^{3}+x^{1/2}-x^{2}\bigr).

Passo 5

Integrar termo a termo e avaliar de 0 a 1 (aquela conta que dá preguiça, mas vamos destrinchar).
  • Escrevemos a integral pronta:
V=2\pi\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{3}+x^{1/2}-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Integramos cada potência usando a regra \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq -1):
    • \displaystyle \int x^{3/2}dx=\dfrac{x^{5/2}}{5/2}=\dfrac{2}{5}x^{5/2}.
    • \displaystyle \int (-x^{3})dx=-\dfrac{x^{4}}{4}.
    • \displaystyle \int x^{1/2}dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
    • \displaystyle \int (-x^{2})dx=-\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Assim uma antiderivada é
2\pi\left(\dfrac{2}{5}x^{5/2}-\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}x^{3}\right).
  • Avaliamos de 0 a 1. Em x=0 todas as parcelas são 0. Em x=1 temos:
    • \dfrac{2}{5}\cdot 1^{5/2}=\dfrac{2}{5}.
    • -\dfrac{1}{4}\cdot 1^{4}=-\dfrac{1}{4}.
    • \dfrac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\dfrac{2}{3}.
    • -\dfrac{1}{3}\cdot 1^{3}=-\dfrac{1}{3}.
  • Somando os termos em x=1:
    • Primeiro some \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
    • Agora somamos \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}.
    • Colocando em denominador comum 60:
      • \dfrac{2}{5}=\dfrac{24}{60},
      • -\dfrac{1}{4}=-\dfrac{15}{60},
      • \dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{60}.
    • Soma: \dfrac{24-15+20}{60}=\dfrac{29}{60}.
  • Então o valor dentro do parêntese é \dfrac{29}{60} e multiplicando por 2\pi obtemos
V=2\pi\cdot\dfrac{29}{60}=\dfrac{58\pi}{60}=\dfrac{29\pi}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{29\pi}{30}

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