calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo:
f(x, y, z)=x z e S é a fronteira da região limitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0 e x+y=5.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\, \mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x z e S é a fronteira fechada da região limitada pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=9\; e pelos planos \;x=0\; e \;x+y=5\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &f(x,y,z)=x z,\\\ &S=\partial V\\ \text{onde }V=\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 9,\\\ 0\le x\le 5-y\},\\\ &\text{o contorno }S\text{ é formado por três peças:}\\\ &\quad S_{\text{cil}}:\\ \text{casco cilíndrico }y^{2}+z^{2}=9\\ \text{com }0\le x\le 5-y,\\\ &\quad S_{0}:\\ \text{disco no plano }x=0\text{ com }y^{2}+z^{2}\le9,\\\ &\quad S_{1}:\\ \text{disco oblíquo no plano }x+y=5\text{ interceptado pelo cilindro.} \end{aligned}éêçíí

Passo 2

Estratégia: vamos calcular a integral sobre cada peça da fronteira e somar:
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S=\iint_{S_{\text{cil}}} f\,\mathrm{d}S+\iint_{S_{0}} f\,\mathrm{d}S+\iint_{S_{1}} f\,\mathrm{d}S.
Vou parametrizar cada superfície, obter \mathrm{d}S (o elemento de área) e integrar f sobre cada parte. Sempre explico o porquê das expressões que uso.

Passo 3

Integral sobre o casco cilíndrico S_{\text{cil}} onde \;y^{2}+z^{2}=9\;.
Parametrização conveniente: usar \theta para a circunferência e x para a coordenada ao longo do eixo do cilindro:
\begin{aligned} &y=3\cos\theta,\quad z=3\sin\theta,\quad x=x,\\\ &\theta\in[0,2\pi],\quad x\in\big[0,\;5-3\cos\theta\big]. \end{aligned}
Posição: \displaystyle \mathbf{r}(x,\theta)=\big(x,\;3\cos\theta,\;3\sin\theta\big).
Para encontrar \mathrm{d}S usamos o produto vetorial dos vetores tangentes:
\mathbf{r}_x=(1,0,0),\qquad \mathbf{r}_\theta=(0,-3\sin\theta,3\cos\theta).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_x\times \mathbf{r}_\theta=(0,-3\cos\theta,-3\sin\theta)
e sua norma é
\big\lVert \mathbf{r}_x\times \mathbf{r}_\theta\big\rVert=3.
Logo \mathrm{d}S=3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta.
Na superfície cilíndrica a função é
f(x,y,z)=x z = x\cdot(3\sin\theta)=3x\sin\theta.
Portanto o integrando f\,\mathrm{d}S fica
f\,\mathrm{d}S=(3x\sin\theta)\cdot 3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta=9x\sin\theta\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta.

Passo 4

Calcular a integral sobre S_{\text{cil}}:
\iint_{S_{\text{cil}}} f\,\mathrm{d}S=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{x=0}^{5-3\cos\theta} 9x\sin\theta\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta.
Fazendo a integral em x:
\int_{0}^{5-3\cos\theta} 9x\sin\theta\,\mathrm{d}x = 9\sin\theta\cdot\frac{(5-3\cos\theta)^2}{2}.
Então
\iint_{S_{\text{cil}}} f\,\mathrm{d}S=\frac{9}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,(5-3\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta.
Expando (5-3\cos\theta)^2=25-30\cos\theta+9\cos^2\theta e considero cada termo multiplicado por \sin\theta. Observações de simetria/integração:
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0,
e para o termo \sin\theta\cos^2\theta faço a substituição u=\cos\theta, \mathrm{d}u=-\sin\theta\,\mathrm{d}\theta; como os limites em \theta são 0 e 2\pi a contribuição também anula-se (é integral sobre um ciclo completo):
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta=0.
Portanto cada termo dá zero e
\iint_{S_{\text{cil}}} f\,\mathrm{d}S=0.

Passo 5

Integral sobre o disco no plano \;x=0, ou seja S_{0}=\{(0,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le9\}.
Aqui x=0 em toda a superfície, logo
f(x,y,z)=x z=0\cdot z=0\quad\text{em }S_{0}.
Assim
\iint_{S_{0}} f\,\mathrm{d}S=0.

Passo 6

Integral sobre o disco no plano \;x+y=5, chamado S_{1}.
Parametrizo por (y,z) na projeção sobre o plano y\!-\!z: como x=5-y, uso
\mathbf{r}(y,z)=\big(5-y,\;y,\;z\big),\qquad (y,z)\\ \text{com }y^{2}+z^{2}\le 9.
Os vetores tangentes são
\mathbf{r}_y=(-1,1,0),\qquad \mathbf{r}_z=(0,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_z=(1,1,0)
e sua norma é \sqrt{2}. Assim \mathrm{d}S=\sqrt{2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
Na superfície x=5-y temos
f(x,y,z)=x z=(5-y)z.
Portanto
\iint_{S_{1}} f\,\mathrm{d}S=\sqrt{2}\iint_{y^{2}+z^{2}\le9} (5-y)z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.
Separo a integral em dois termos:
\sqrt{2}\left(5\iint_{D} z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z - \iint_{D} y z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\right),
onde D=\{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le9\} é um disco centrado na origem.
Usando simetria do disco:
\iint_{D} z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=0
porque a função z é ímpar em z enquanto o domínio é simétrico em z. Similarmente
\iint_{D} y z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z=0
pois y z é ímpar em y (ou em z) sobre o disco simétrico. Portanto
\iint_{S_{1}} f\,\mathrm{d}S=0.

Passo 7

Somando as contribuições das três peças da fronteira:
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S=\iint_{S_{\text{cil}}} f\,\mathrm{d}S+\iint_{S_{0}} f\,\mathrm{d}S+\iint_{S_{1}} f\,\mathrm{d}S=0+0+0=0.

Resposta

0

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