calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo: f(x, y, z)=x z e S é a fronteira da região limitada pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0 e x+y=5.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\, \mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x z e S é a fronteira fechada da região limitada pelo cilindro \;y^{2}+z^{2}=9\; e pelos planos \;x=0\; e \;x+y=5\;.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &f(x,y,z)=x z,\\\ &S=\partial V\\ \text{onde }V=\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le 9,\\\ 0\le x\le 5-y\},\\\ &\text{o contorno }S\text{ é formado por três peças:}\\\ &\quad S_{\text{cil}}:\\ \text{casco cilíndrico }y^{2}+z^{2}=9\\ \text{com }0\le x\le 5-y,\\\ &\quad S_{0}:\\ \text{disco no plano }x=0\text{ com }y^{2}+z^{2}\le9,\\\ &\quad S_{1}:\\ \text{disco oblíquo no plano }x+y=5\text{ interceptado pelo cilindro.} \end{aligned}
Passo 2
Estratégia: vamos calcular a integral sobre cada peça da fronteira e somar:
Vou parametrizar cada superfície, obter \mathrm{d}S (o elemento de área) e integrar f sobre cada parte. Sempre explico o porquê das expressões que uso.
Passo 3
Integral sobre o casco cilíndrico S_{\text{cil}} onde \;y^{2}+z^{2}=9\;.
Parametrização conveniente: usar \theta para a circunferência e x para a coordenada ao longo do eixo do cilindro:
e para o termo \sin\theta\cos^2\theta faço a substituição u=\cos\theta, \mathrm{d}u=-\sin\theta\,\mathrm{d}\theta; como os limites em \theta são 0 e 2\pi a contribuição também anula-se (é integral sobre um ciclo completo):