calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo:
f(x, y, z)=x^{2} z^{2} e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\,\mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x^{2}z^{2} e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A superfície S é a porção do cone com eixo em z entre as alturas z=1 e z=3.
  • Como z varia entre 1 e 3 (positivos), usamos a nappe positiva do cone, que satisfaz z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Precisamos parametrizar S, calcular o elemento de área \mathrm{d}S e integrar f sobre essa parametrização para obter o valor da integral.

Passo 2

Escolha de coordenadas e parametrização: para cones e superfícies de revolução é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta). No cone positivo temos z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Então podemos parametrizar S por
\mathbf{X}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\big).
Aqui r e \theta são as variáveis da parametrização: r representa a distância radial no plano xy e \theta o ângulo polar.
Domínio das variáveis: como z=r e z vai de 1 a 3, temos
1\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Cálculo dos vetores parciais da parametrização: precisamos de \mathbf{X}_r e \mathbf{X}_\theta.
\mathbf{X}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \mathbf{X}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).

Passo 4

Cálculo do vetor normal (produto vetorial) e do elemento de área: o módulo do produto vetorial \lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\rVert \mathrm{d}S quando multiplicado por \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Calculamos o produto vetorial:
\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] \cos\theta & \sin\theta & 1\\[2pt] - r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r).
O módulo é
\lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\rVert = r\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta+1} = r\sqrt{2}.
Portanto o elemento de área é
\mathrm{d}S = r\sqrt{2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.]

Passo 5

Expressar a função f na parametrização: temos x=r\cos\theta e z=r, então
f(x,y,z)=x^{2}z^{2}=(r\cos\theta)^{2}\cdot r^{2}=r^{4}\cos^{2}\theta.

Passo 6

Montar a integral dupla sobre o domínio em (r,\theta):
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} \big(r^{4}\cos^{2}\theta\big)\cdot\big(r\sqrt{2}\big)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta \int_{1}^{3} r^{5}\,\mathrm{d}r.

Passo 7

Calcular as integrais separadamente.
Primeiro a integral angular:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \pi,
porque \cos^{2}\theta tem média 1/2 em um período, logo \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta=2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi.
Agora a integral radial:
\int_{1}^{3} r^{5}\,\mathrm{d}r =\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{1}^{3} =\frac{3^{6}-1^{6}}{6} =\frac{729-1}{6} =\frac{728}{6} =\frac{364}{3}.

Passo 8

Multiplicar os resultados e simplificar:
\iint_{S} f\,\mathrm{d}S = \sqrt{2}\cdot \pi \cdot \frac{364}{3} = \frac{364\pi}{3}\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{364\pi}{3}\sqrt{2}

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