calcule \iint_{S} f(x, y, z) \mathrm{d} S sendo: f(x, y, z)=x^{2} z^{2} e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} f(x,y,z)\,\mathrm{d}S
onde f(x,y,z)=x^{2}z^{2} e S é a parte do cone z^{2}=x^{2}+y^{2} que está entre os planos z=1 e z=3.
Informações dadas e o que precisamos:
A superfície S é a porção do cone com eixo em z entre as alturas z=1 e z=3.
Como z varia entre 1 e 3 (positivos), usamos a nappe positiva do cone, que satisfaz z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Precisamos parametrizar S, calcular o elemento de área \mathrm{d}S e integrar f sobre essa parametrização para obter o valor da integral.
Passo 2
Escolha de coordenadas e parametrização: para cones e superfícies de revolução é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta). No cone positivo temos z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Então podemos parametrizar S por
Cálculo do vetor normal (produto vetorial) e do elemento de área: o módulo do produto vetorial \lVert \mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\rVert dá \mathrm{d}S quando multiplicado por \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.