Encontre o volume entre as superfícies
x^2+y^2+z^2=1 e z=1-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume entre duas superfícies: a esfera de raio 1, dada por x^2 + y^2 + z^2 = 1, e a parábola circular z = 1 - x^2 - y^2. Aqui, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares ou esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas superfícies se cruzam. Isso é importante porque o volume que queremos calcular está entre elas. Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações de z:
1 - x^2 - y^2 = z = raiz1 - x^2 - y^2
Resolvendo essa equação, descobrimos os limites de integração.

Passo 3

Simplificando, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1 - x^2 - y^2)^2 = 1 - x^2 - y^2
Expande e reorganiza os termos:
1 - 2x^2 - 2y^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 1 - x^2 - y^2
Simplificando:
-x^2 - y^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 0
Fatorando, encontramos que a região de interseção ocorre quando x^2 + y^2 = 12.

Passo 4

Agora, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a simetria é circular. Em coordenadas polares, x = rcostheta, y = rsintheta, e x^2 + y^2 = r^2. A área de integração vai de r = 0 até r = raiz22, que é a raiz de x^2 + y^2 = 12.

Passo 5

A próxima etapa é definir os limites para z. O valor de z varia da parábola circular até a esfera. Então:
zinferior = 1 - r^2
zsuperior = raiz1 - r^2

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de volume é r , dz , dr , dtheta. Assim, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^raiz22 integral1 - r^2^raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a z:
integral1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = raiz1 - r^2 - (1 - r^2)
Então, a integral se torna:
V = integral0^2pi integral0^raiz22 [raiz1 - r^2 - (1 - r^2)] r , dr , dtheta

Passo 8

Agora, integramos em relação a r. Vamos quebrar em duas partes:
V = integral0^2pi dtheta ( integral0^raiz22 r raiz1 - r^2 , dr - integral0^raiz22 r (1 - r^2) , dr )
Resolvendo cada integral separadamente:
Para $ \int r \sqrt{1 - r^{2}} , dr $, fazemos a substituição integral r raiz1 - r^2 , dr , u = 1 - r^2, resultando em du = -2r , dr.
Para $ \int r (1 - r^{2}) , dr $, expandimos e integramos termo a termo, obtendo -13(1 - r^2)^3/2.
Aplicando os limites de integração e simplificando, encontramos os valores para ambas as integrais.

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a theta:
V = 2pi ( [ -13(1 - r^2)^3/2 ]0^raiz22 - [ r^22 - r^44 ]0^raiz22 )
Calculando as diferenças e simplificando, chegamos ao valor final do volume.

Resposta

O volume entre as superfícies x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z = 1 - x^2 - y^2 é pi6 unidades cúbicas.

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