Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume entre duas superfícies: a esfera de raio 1, dada por , e a parábola circular . Aqui, vamos precisar de conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas polares ou esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas superfícies se cruzam. Isso é importante porque o volume que queremos calcular está entre elas. Para encontrar a interseção, igualamos as duas equações de :
Resolvendo essa equação, descobrimos os limites de integração.
Passo 3
Simplificando, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expande e reorganiza os termos:
Simplificando:
Fatorando, encontramos que a região de interseção ocorre quando .
Passo 4
Agora, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que a simetria é circular. Em coordenadas polares, , , e . A área de integração vai de até , que é a raiz de .
Passo 5
A próxima etapa é definir os limites para . O valor de varia da parábola circular até a esfera. Então:
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de volume é . Assim, a integral fica:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, integramos em relação a . Vamos quebrar em duas partes:
Resolvendo cada integral separadamente:
Para $ \int r \sqrt{1 - r^{2}} , dr $, fazemos a substituição , , resultando em .
Para $ \int r (1 - r^{2}) , dr $, expandimos e integramos termo a termo, obtendo .
Aplicando os limites de integração e simplificando, encontramos os valores para ambas as integrais.
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a :
Calculando as diferenças e simplificando, chegamos ao valor final do volume.
Resposta
O volume entre as superfícies x^2 + y^2 + z^2 = 1 e z = 1 - x^2 - y^2 é pi6 unidades cúbicas.