Encontre o volume entre as superfícies
z=e^-lambda x, z=0, y=0 e y=1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume delimitado pelas superfícies $ z = e^{-\lambda x} $, $ z = 0 $, $ y = 0 $ e $ y = 1 - x^{2} $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente a integral dupla para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Temos duas variáveis envolvidas aqui, $ x $ e $ y $. A superfície $ y = 1 - x^{2} $ nos dá uma região no plano $ xy $ que é uma parábola. A outra superfície, $ y = 0 $, é simplesmente o eixo $ x $.

Passo 3

Vamos determinar os valores de $ x $ e $ y $ que delimitam a região. A parábola $ y = 1 - x^{2} $ intercepta o eixo $ y = 0 $ quando $ 1 - x^{2} = 0 $, ou seja, quando $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Portanto, $ x $ varia de -1 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 1 - x^{2} $.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A função $ z = e^{-\lambda x} $ representa a altura em cada ponto $ (x, y) $ da região. Então, o volume $ V $ é dado por:
z = e^-lambda x

Passo 5

Começamos integrando em relação a $ y $. Como $ e^{-\lambda x} $ não depende de $ y $, a integral fica:
y

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
V = integral-1^1 e^-lambda x (1 - x^2) , dx
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
V = integral-1^1 e^-lambda x , dx - integral-1^1 x^2 e^-lambda x , dx

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira integral é:
integral e^-lambda x , dx = -1lambda e^-lambda x + C
A segunda integral, $ \int x^{2} e^{-\lambda x} , dx $, pode ser resolvida por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais.

Passo 8

Após calcular ambas as integrais e avaliar os limites de -1 a 1, somamos os resultados para obter o volume total $ V $.

Resposta

O volume entre as superfícies dadas é:
V = ( -1lambda e^-lambda x ) gr|-1^1 - ( x^2lambda e^-lambda x + 2xlambda^2 e^-lambda x + 2lambda^3 e^-lambda x ) gr|-1^1
Após substituir os limites e simplificar, obtemos o valor final do volume $ V $.

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