Encontre o volume entre as superfícies
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume delimitado pelas superfícies $ z = e^{-\lambda x} $, $ z = 0 $, $ y = 0 $ e $ y = 1 - x^{2} $. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente a integral dupla para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites de integração. Temos duas variáveis envolvidas aqui, $ x $ e $ y $. A superfície $ y = 1 - x^{2} $ nos dá uma região no plano $ xy $ que é uma parábola. A outra superfície, $ y = 0 $, é simplesmente o eixo $ x $.
Passo 3
Vamos determinar os valores de $ x $ e $ y $ que delimitam a região. A parábola $ y = 1 - x^{2} $ intercepta o eixo $ y = 0 $ quando $ 1 - x^{2} = 0 $, ou seja, quando $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Portanto, $ x $ varia de -1 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 até $ 1 - x^{2} $.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A função $ z = e^{-\lambda x} $ representa a altura em cada ponto $ (x, y) $ da região. Então, o volume $ V $ é dado por:
Passo 5
Começamos integrando em relação a $ y $. Como $ e^{-\lambda x} $ não depende de $ y $, a integral fica:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral, $ \int x^{2} e^{-\lambda x} , dx $, pode ser resolvida por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais.
Passo 8
Após calcular ambas as integrais e avaliar os limites de -1 a 1, somamos os resultados para obter o volume total $ V $.
Resposta
O volume entre as superfícies dadas é:
Após substituir os limites e simplificar, obtemos o valor final do volume $ V $.