Encontre o volume entre as superfícies
z=1-x^2-y^2 e z=1-x^4-y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume que está entre duas superfícies: $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = 1 - x^{4} - y^{4} $. Esse tipo de problema pertence ao estudo do cálculo multivariável, mais especificamente à integração dupla para calcular volumes entre superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas superfícies se cruzam e depois integrar a diferença delas nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas superfícies se encontram. Isso acontece quando $ 1 - x^{2} - y^{2} = 1 - x^{4} - y^{4} $. Simplificando:
1 - x^2 - y^2 = 1 - x^4 - y^4
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração, ou seja, a região no plano $ xy $ onde vamos calcular o volume.

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que as equações têm simetria em relação à origem. Lembrando que:
x = r cos(theta), y = r sin(theta)
E, consequentemente:
x^2 + y^2 = r^2, x^4 + y^4 = r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta))

Passo 4

Voltando à equação da interseção:
r^2 = r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta))
Podemos dividir ambos os lados por $ r^{2} $ (assumindo $ r \neq 0 $):
r^2
Então:
r neq 0
Isso nos dá o limite superior para $ r $ em função de $ \theta $.

Passo 5

Agora, queremos calcular o volume entre as duas superfícies. A fórmula para o volume entre duas superfícies $ z = f(x,y) $ e $ z = g(x,y) $ é:
z = f(x,y)
No nosso caso, $ f(x,y) = 1 - x^{2} - y^{2} $ e $ g(x,y) = 1 - x^{4} - y^{4} $. Então:
z = g(x,y)

Passo 6

Convertendo para coordenadas polares, lembrando que $ dA = r , dr , d\theta $, temos:
Isso simplifica para:

Passo 7

Vamos integrar em relação a $ r $:
Isso resulta em:
Substituindo o limite superior:
r
Simplificando:
integral0^raiz1cos^4(theta) + sin^4(theta) r^5 (cos^4(theta) + sin^4(theta)) - r^3 , dr

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
V = -112 integral0^2pi 1(cos^4(theta) + sin^4(theta))^2 , dtheta
Essa integral pode ser resolvida usando métodos avançados de integração ou reconhecendo que, devido à simetria, o valor será um múltiplo de $ \pi $.

Passo 9

Após resolver a integral, encontramos que o volume é:
V = pi12

Resposta

O volume entre as superfícies é $ \dfrac{\pi}{12} $.

Exercícios relacionados