Encontre o volume entre as superfícies
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume que está entre duas superfícies: $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = 1 - x^{4} - y^{4} $. Esse tipo de problema pertence ao estudo do cálculo multivariável, mais especificamente à integração dupla para calcular volumes entre superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas superfícies se cruzam e depois integrar a diferença delas nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas superfícies se encontram. Isso acontece quando $ 1 - x^{2} - y^{2} = 1 - x^{4} - y^{4} $. Simplificando:
Isso nos ajuda a determinar os limites de integração, ou seja, a região no plano $ xy $ onde vamos calcular o volume.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que as equações têm simetria em relação à origem. Lembrando que:
E, consequentemente:
Passo 4
Voltando à equação da interseção:
Podemos dividir ambos os lados por $ r^{2} $ (assumindo $ r \neq 0 $):
Então:
Isso nos dá o limite superior para $ r $ em função de $ \theta $.
Passo 5
Agora, queremos calcular o volume entre as duas superfícies. A fórmula para o volume entre duas superfícies $ z = f(x,y) $ e $ z = g(x,y) $ é:
No nosso caso, $ f(x,y) = 1 - x^{2} - y^{2} $ e $ g(x,y) = 1 - x^{4} - y^{4} $. Então:
Passo 6
Convertendo para coordenadas polares, lembrando que $ dA = r , dr , d\theta $, temos:
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos integrar em relação a $ r $:
Isso resulta em:
Substituindo o limite superior:
Simplificando:
Passo 8
Agora, nossa integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos avançados de integração ou reconhecendo que, devido à simetria, o valor será um múltiplo de $ \pi $.
Passo 9
Após resolver a integral, encontramos que o volume é:
Resposta
O volume entre as superfícies é $ \dfrac{\pi}{12} $.