a) Encontre \wp(A) para A=\{a, b\}.
b) Encontre \wp(\wp(A)) para A=\{a, b\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a power set (conjunto das partes) de A=\{a,b\} e depois a power set de \wp(A). Vamos usar a definição:
\wp(X)=\{\,Y\mid Y\subseteq X\}.

Passo 2

Para encontrar \wp(A), listamos todos os subconjuntos de A. Como \lvert A\rvert=2, há 2^2=4 subconjuntos:
\wp(A)=\{\;\emptyset,\;\{a\},\;\{b\},\;\{a,b\}\}.

Passo 3

Agora tomamos X=\wp(A). A power set \wp(\wp(A)) é o conjunto de todos os subconjuntos de \wp(A). Como \lvert\wp(A)\rvert=4, teremos 2^4=16 elementos em \wp(\wp(A)).

Passo 4

Listamos explicitamente os 16 subconjuntos de \wp(A). Chamando S_0=\emptyset, S_1=\{\emptyset\}, S_2=\{\{a\}\}, S_3=\{\{b\}\}, S_4=\{\{a,b\}\}, etc., obtemos:
\begin{aligned} \wp(\wp(A))=\{& \emptyset,\; \{\emptyset\},\; \{\{a\}\},\; \{\{b\}\},\; \{\{a,b\}\},\\\ &\{\emptyset,\{a\}\},\; \{\emptyset,\{b\}\},\; \{\emptyset,\{a,b\}\},\; \{\{a\},\{b\}\},\; \{\{a\},\{a,b\}\},\\\ &\{\{b\},\{a,b\}\},\; \{\emptyset,\{a\},\{b\}\},\; \{\emptyset,\{a\},\{a,b\}\},\; \{\emptyset,\{b\},\{a,b\}\},\\\ &\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\},\; \{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\} \}. \end{aligned}

Resposta

(a) \wp(A)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}
(b) \wp(\wp(A)) é o conjunto de todos os 16 subconjuntos listados acima.

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