Determine o conjunto A sabendo que \wp(A)=\{\emptyset,\{a\},\{\{a\}\},\{a,\{a\}\}\}.

Passo 1

O enunciado dá a potência (conjunto das partes) de A:
\wp(A)=\{\emptyset,\{a\},\{\{a\}\},\{a,\{a\}\}\}.
Estamos em teoria de conjuntos e vamos usar a propriedade de que, se \lvert A\rvert = n, então \lvert \wp(A)\rvert = 2^n.

Passo 2

Como \wp(A) tem exatamente quatro elementos, temos
\lvert \wp(A)\rvert = 4 = 2^n
logo n=2. Assim, A tem dois elementos.

Passo 3

Seja A=\{x,y\}. Então os subconjuntos de A são
\emptyset, \{x\}, \{y\} e \{x,y\}.

Passo 4

No enunciado vemos que entre os subconjuntos estão \{a\} e \{\{a\}\}. Esses devem ser exatamente \{x\} e \{y\} (em alguma ordem). Da igualdade de conjuntos concluímos:
  • Se \{x\} = \{a\} então x=a.
  • Se \{y\} = \{\{a\}\} então y=\{a\}.

Passo 5

Portanto
A = \{a,\{a\}\}.
Verificamos que seus subconjuntos são justamente \emptyset, \{a\}, \{\{a\}\} e \{a,\{a\}\}, batendo com \wp(A).

Resposta

A = \{a,\{a\}\}

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