Encontre o Wronskiano do par de funções
l y1(t)=e^-t y2(t)=e^-3 t
Escolha uma opção:
W(y1, y2)=-e^6 t
W(y1, y2)=-e^-6 t
W(y1, y2)=e^-5 t
W(y1, y2)=-e^-5 t
W(y1, y2)=e^-6 t
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o Wronskiano de duas funções:
y1(t) = e^-t
y2(t) = e^-3t
Esse assunto está relacionado a equações diferenciais e ao estudo de soluções lineares. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante que forma o Wronskiano dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $, o Wronskiano é dado por:
y1(t)
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ y_1 $ e $ y_2 $, montar a matriz e calcular seu determinante.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
y1(t) = e^-t Rightarrow y1'(t) = ddt e^-t = -e^-t
y2(t) = e^-3t Rightarrow y2'(t) = ddt e^-3t = -3e^-3t
Agora temos $ y_{1} $, $ y_{2} $, $ y_{1}’ $ e $ y_{2}’ $.

Passo 4

Vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
W(y1, y2) = e^-t & e^-3t - e^-t & -3e^-3t
Agora, calculamos o determinante dessa matriz.

Passo 5

O determinante de uma matriz $ a & b c & d $ é $ ad - bc $. Aplicando isso:
ad - bc
Então, o Wronskiano é $ -2e^{-4t} $.

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a $ W(y_{1}, y_{2}) = -2e^{-4t} $.

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