Encontre y^{\prime} derivando implicatamente.
y=\tan ^{-1} x, em que \tan y=x

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos y'=\frac{dy}{dx} sabendo que
y=\tan^{-1}x
o que é equivalente a afirmar implicitamente que
\tan y = x.
O conteúdo que vamos usar é a derivação implícita e a regra da derivada da função \tan.

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade \tan y = x em relação a x. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia para \tan y:
\frac{d}{dx}(\tan y)=\operatorname{sec}^2 y\;\frac{dy}{dx},
e do lado direito
\frac{d}{dx}(x)=1.
Portanto obtemos
\operatorname{sec}^2 y\;y' = 1.

Passo 3

Isolamos y' na equação \operatorname{sec}^2 y\;y' = 1. Logo,
y' = \frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.

Passo 4

Para escrever y' em termos de x, usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^2 y = 1 + \tan^2 y
e lembramos que \tan y = x. Assim
\operatorname{sec}^2 y = 1 + x^2.

Passo 5

Substituindo \operatorname{sec}^2 y = 1 + x^2 na expressão de y', chegamos a
y' = \frac{1}{1 + x^2}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}.

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