Encontre y^{\prime} derivando implicatamente.
y=\operatorname{sen}^{-1}(2 x+1)

Passo 1

O enunciado dá
y = \arcsin(2x + 1)
e pede y' usando derivação implícita. O conteúdo aqui envolve passar para a forma \sin(y), derivar ambos os lados e usar identidade trigonométrica.

Passo 2

Reescrevemos a relação de forma implícita:
\sin(y) = 2x + 1.
Agora derivamos em relação a x, aplicando a derivada de \sin(y) (regra da cadeia) e de 2x+1:
\cos(y)\,y' = 2.

Passo 3

Isolamos y' na equação obtida:
y' = \frac{2}{\cos(y)}.

Passo 4

Para expressar tudo em função de x, usamos a identidade
\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)}
e substituímos \sin(y)=2x+1. Assim
y' = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}}.

Resposta

y' = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}}.

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