Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
x \ln y+y \ln x=5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x\ln y + y\ln x = 5
O conteúdo aqui é derivação implícita, usando regra do produto e derivada de \ln. Queremos encontrar y'=\frac{dy}{dx}.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados da equação. Como o lado direito é constante, sua derivada é zero:
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln y\bigr) \;+\;\frac{d}{dx}\bigl(y\ln x\bigr)\;=\;\frac{d}{dx}(5)\;=\;0.

Passo 3

Calculamos cada termo separadamente:
Para \frac{d}{dx}(x\ln y), usamos regra do produto e derivada de \ln y:
\frac{d}{dx}(x\ln y) =1\cdot\ln y + x\cdot\frac{1}{y}y' =\ln y + \frac{x}{y}\,y'.
Para \frac{d}{dx}(y\ln x), também regra do produto e derivada de \ln x:
\frac{d}{dx}(y\ln x) =y'\cdot\ln x + y\cdot\frac{1}{x} =y'\ln x + \frac{y}{x}.
Substituindo na soma e igualando a zero:
\ln y + \frac{x}{y}y' + y'\ln x + \frac{y}{x} = 0.

Passo 4

Agrupamos os termos que envolvem y':
y'\Bigl(\frac{x}{y} + \ln x\Bigr) + \ln y + \frac{y}{x} = 0.
Isolando y':
y'\Bigl(\frac{x}{y} + \ln x\Bigr) =-\Bigl(\ln y + \frac{y}{x}\Bigr),
y'=-\frac{\displaystyle \ln y + \frac{y}{x}}{\displaystyle \frac{x}{y} + \ln x}.

Resposta

y'=-\frac{\displaystyle \ln y + \frac{y}{x}}{\displaystyle \frac{x}{y} + \ln x}.

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