& i) \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} \cdot d x \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
Estamos no tópico de cálculo de integrais indefinidas e definidas usando substituição. Vamos usar a substituição que simplifica o denominador quadrático.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Quando x=0, u=0^{2}+1=1. Quando x=1, u=1^{2}+1=2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u}\,\Bigl(\frac{1}{2}\,du\Bigr) = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du.
Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
então
\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(\ln 2 - \ln 1\bigr) = \frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\frac{1}{2}\ln 2

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