Encontre y^{\prime} nos seguintes casos
y=x \cos y+y \cos x

Passo 1

Temos uma função definida implicitamente por
y = x\cos y + y\cos x
e queremos encontrar y' = \frac{dy}{dx}. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia sempre que aparecer \cos y ou \sin y.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, o lado esquerdo vira simplesmente y'. No lado direito, ao derivar x\cos y e y\cos x obtemos:
\frac{d}{dx}(x\cos y) = 1\cdot\cos y + x\cdot(-\sin y)\,y' = \cos y - x\sin y\,y',
\frac{d}{dx}(y\cos x) = y'\cdot\cos x + y\cdot(-\sin x) = y'\cos x - y\sin x.
Somando,
y' = (\cos y - x\sin y\,y') + (y'\cos x - y\sin x).

Passo 3

Agora agrupamos todos os termos que contêm y' no lado esquerdo:
y' + x\sin y\,y' - y'\cos x = \cos y - y\sin x.
Fatorando y',
y'\bigl(1 + x\sin y - \cos x\bigr) = \cos y - y\sin x.

Passo 4

Bastam dos lados por \bigl(1 + x\sin y - \cos x\bigr) para isolar y':
y' = \frac{\cos y - y\sin x}{1 + x\sin y - \cos x}.

Resposta

y' = \frac{\cos y - y\sin x}{1 + x\sin y - \cos x}.

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