Encontre y^prime se sen(x+y)=y^2 cos (x) (0 , 5 p t o s)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita sen(x+y)=y²·cos(x) e pede y’. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra da cadeia no lado esquerdo e regra do produto no lado direito.

Passo 2

Derivando o lado esquerdo em relação a x: usamos a regra da cadeia em sin(x+y). A derivada é cos(x+y) vezes a derivada de (x+y), que é 1+y'. Logo:
ddxl[sin(x+y)r]=cos(x+y),(1+y')

Passo 3

Derivando o lado direito y^2cos(x): aplicamos a regra do produto.
Derivada de y^2 é 2y,y' vezes cos(x), mais y^2 vezes derivada de cos(x), que é -sin(x). Assim:
ddxl[y^2cos(x)r]=2y,y'cos(x)-y^2sin(x)

Passo 4

Igualando as derivadas:
cos(x+y),(1+y')=2y,y'cos(x)-y^2sin(x)

Passo 5

Reorganizando para isolar y': primeiro expandimos o lado esquerdo:
cos(x+y)+cos(x+y),y'=2y,y'cos(x)-y^2sin(x)
Depois agrupamos os termos com y' num mesmo lado:
cos(x+y),y'-2y,cos(x),y'=-y^2sin(x)-cos(x+y)
Fatorando y':
y'l(cos(x+y)-2ycos(x)r)=-l(y^2sin(x)+cos(x+y)r)

Passo 6

Multiplicando por -1 no numerador e denominador para simplificar o sinal, obtemos
y'=cos(x+y)+y^2sin(x)2ycos(x)-cos(x+y)
Esse é o valor de y'.

Resposta

y'=cos(x+y)+y^2sin(x)2ycos(x)-cos(x+y)

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