4 - Encontre
sabendo que
.
Passo 1
Vamos entender certinho o que o enunciado nos dá. O enunciado pede para encontrar a derivada
sabendo que a função
satisfaz a relação
Ou seja:
- A equação que relaciona
e é (peguei essa equação do enunciado, interpretando que o produto entre e é igual a ). - Pergunta: calcular
Passo 2
Antes de derivar, vou lembrar as regras que vou usar (explicando como e por quê):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Isto serve porque a esquerda é produto de
e
.
- Regra da cadeia: se
, então
Usarei isso ao derivar
, pois a entrada da cosseno é
.
- Derivada da exponencial composta: se
, então
porque a derivada de
é
vezes a derivada de
.
Passo 3
Agora diferencio os dois lados da equação
em relação a
.
Começo pela derivada do lado esquerdo
. Aplicando a regra do produto com
e
:
Usando a regra da cadeia para
, onde
e
, temos
Substituindo:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Passo 4
Agora a derivada do lado direito
. Também uso a regra do produto com
e
:
Como
, fica
Passo 5
Igualando
e
(porque derivada do lado esquerdo é derivada do lado direito), obtemos
Agora vou juntar todos os termos que têm
num lado e os que não têm no outro. Colocando os termos com
à esquerda e os demais à direita:
Fatorando
no lado esquerdo:
A partir daqui é só isolar
dividindo pelo coeficiente entre parênteses (desde que esse coeficiente seja diferente de zero).