4 - Encontre y^{\prime}(x) sabendo que y=y(x) e \cos (y+ x)=x e^{y}.

Passo 1

Vamos entender certinho o que o enunciado nos dá. O enunciado pede para encontrar a derivada y'(x) sabendo que a função y=y(x) satisfaz a relação
y(x)\cos\bigl(y(x)+x\bigr)=x e^{y(x)}.
Ou seja:
  • A equação que relaciona x e y(x) é \;y\cos(y+x)=x e^{y}\; (peguei essa equação do enunciado, interpretando que o produto entre y e \cos(y+x) é igual a x e^{y}).
  • Pergunta: calcular \;y'(x)=\dfrac{dy}{dx}\;.

Passo 2

Antes de derivar, vou lembrar as regras que vou usar (explicando como e por quê):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
Isto serve porque a esquerda é produto de y(x) e \cos(y+x).
  • Regra da cadeia: se w(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr), então
\frac{d}{dx}\cos\bigl(g(x)\bigr)=-\sin\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Usarei isso ao derivar \cos(y+x), pois a entrada da cosseno é g(x)=y(x)+x.
  • Derivada da exponencial composta: se h(x)=e^{y(x)}, então
\frac{d}{dx}e^{y(x)}=e^{y(x)}\cdot y'(x),
porque a derivada de e^{u} é e^{u} vezes a derivada de u.

Passo 3

Agora diferencio os dois lados da equação \;y\cos(y+x)=x e^{y}\; em relação a x.
Começo pela derivada do lado esquerdo \;L(x)=y\cos(y+x)\;. Aplicando a regra do produto com u(x)=y e v(x)=\cos(y+x):
L'(x)=y'\cdot\cos(y+x)+y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(y+x)\bigr).
Usando a regra da cadeia para \cos(y+x), onde g(x)=y(x)+x e g'(x)=y'(x)+1, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(y+x)\bigr)=-\sin(y+x)\cdot\bigl(y'+1\bigr).
Substituindo:
L'(x)=y'\cos(y+x)+y\bigl(-\sin(y+x)\,(y'+1)\bigr).
Expandindo:
L'(x)=y'\cos(y+x)-y\sin(y+x)\,y'-y\sin(y+x).
Agrupando os termos com y':
L'(x)=\bigl(\cos(y+x)-y\sin(y+x)\bigr)y' - y\sin(y+x).

Passo 4

Agora a derivada do lado direito \;R(x)=x e^{y}\;. Também uso a regra do produto com u(x)=x e v(x)=e^{y}:
R'(x)=1\cdot e^{y}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\bigr).
Como \dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}y', fica
R'(x)=e^{y}+x e^{y} y'.

Passo 5

Igualando L'(x) e R'(x) (porque derivada do lado esquerdo é derivada do lado direito), obtemos
\bigl(\cos(y+x)-y\sin(y+x)\bigr)y' - y\sin(y+x) = e^{y}+x e^{y} y'.
Agora vou juntar todos os termos que têm y' num lado e os que não têm no outro. Colocando os termos com y' à esquerda e os demais à direita:
\bigl(\cos(y+x)-y\sin(y+x)\bigr)y' - x e^{y} y' = e^{y} + y\sin(y+x).
Fatorando y' no lado esquerdo:
\bigl(\cos(y+x)-y\sin(y+x)-x e^{y}\bigr) y' = e^{y} + y\sin(y+x).
A partir daqui é só isolar y' dividindo pelo coeficiente entre parênteses (desde que esse coeficiente seja diferente de zero).

Resposta

y'(x)=\dfrac{e^{y}+y\sin(y+x)}{\cos(y+x)-y\sin(y+x)-x e^{y}}.

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